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数学ématiciens se déchirent autour de la preuveABC猜想

两个数学é突出的印刷说他们有 é在c覆盖了一个错误œur de la preuve d’une célèBree The The The的客人éorie des nombres ; 证明唤醒社区é mathématique depuis près de six ans.

EricaKlarérich。由Philippe Ribeau翻译
楼梯'escher

发布的报告é9月20日在线, 数学ématiciens 彼得希尔扎, récent lauréat de la médaille Fields和jakob stix,的'Université法兰克福的歌德,dé暴击是什么stix打电话« 严重和不可逾越的故障 » dans une série d'文章由Shinichi Mochizuki, un mathématicien réputé de l'Université de Kyoto. Publié2012年在线,莫希崎文章应该是假设的é证明了ABC猜想,是'un des problè我最深刻的éorie des nombres.

魔鬼é de 多重混乱érences consacrées à l'解释Mochizuki的证据 ,thé奥里西人的数字ont eu du mal à了解IDS.é潜在的。王牌érie d’物品,总计超过500页,是é克里特队以IMPénétrable, et se réfère à500其他或更多页面页面éMochizuki,Cr.éant ce que le mathé曼蒂亚布莱恩·康拉德'Université Stanford, a appelé « 一种illustration de régression infinie ».

根据Ivan Fessenko的说法'Université从诺丁汉,12到18个数学之间ématiciens qui ont étudié深度证据认为'它是正确的。但只有数学ématiciens « dans l’Mochizuki的随行人员 » se sont portés garants de l'证据的准确性, 一条评论é Conrad sur un blog en décembre dernier. « Personne d'autre n’est prêt à dire, mê我非正式地,什么'证明是完整的ète. »

Néanmoins, a é指标弗兰克列格里的'Université de Chicago en décembre dernier dans 一张票e blog, « les mathématiciens sont très réticents à affirmer qu'il y a un problè凭借莫奇乌的证据,因为'他们无法识别PRécisément une erreur définitive ».

最新’à aujourd’惠。在他们的报告中,Scholze和Stix支持这一点'在证明的结束时推理« corollaire 3.12 » dans le troisiè我的四篇文章的Mochizuki是根本的错误é。但这种推论是ABC猜想的证据中的核心ée par Mochizuki. « 我认为ABC猜想仍然是开放的, » conclut Scholze. « N'有机会证明它的进口。 »

Schearze和Stix的结论很低é不仅是独自的é托德文章,还要访问'在莫奇尤和他的Collègue Yuichiro Hoshi à l'Université从京都,去年3月,讨论证据。这次访问有été d'解释出很大的帮助é彼得希尔兹,允许他们é反对意见'à他们的本质。他们到了és à la conclusion qu'il n'y a pas de preuve, é他们在他们的r中捧着écent article.

但这次访问是成功的à une conclusion éTrotoratory Tranging:Mochizuki n'a pas réussi à说服Schearze和Stix他的争论é是坚实的,但他们是'ont pas réussi à le convaincre qu'ils ne l’é不是。 Mochizuki发布了é l’Schearze和Stix在他的网站上的文章, 以及他在r中的许多文章éfutation.

ABC猜想 est encore ouverte. N'有机会证明它的进口。

彼得希尔扎

在他的R.é未来,Mochizuki归因于Schoolze和Stix的批评à « 一些基本的误解 »关于他的工作。他们的« position négative », écrit-il, « n'implique l'existence d'aucun défaut » dans sa théorie.

就像高r一样é莫奇鲁的妓女使得很重要éMaticians认为他在ABC猜想上的工作作为尝试TRès sé,Schezze和Stix的身材保证了数学ématiciens prêteront attention à ce qu'ils ont à dire. Bien qu'il n'30岁时,Schearze迅速达到了他的领域。 他有çu la médaille Fields,数学中最高的区别ématiques, en août. Stix, quant à他是莫奇鲁的特定研究领域的专家,称为géométrie anabélienne.

« Peter [Scholed]和Jakob [Stix]是数学ématiciens extrêmement prudents et réfléchis, » dit Brian Conrad. « Tout ce qui les préoccupe mérite définitivement d'être éclairci. »

摩擦点

ABC猜想,康拉德尊重être « l'其中最令人着迷的猜想之一éorie des nombres », commence avec l'une des é最简单的可想象的要求: a + b = cO.ù三个数字A,B和C是不共享任何第一个普通因子的正整数–例如,我们可以考虑érer les éQuations 8 + 9 = 17,或5 + 16 = 21,但不是6 + 9 = 15,因为6,9和15全部可被3个。

从’une telle é,我们看看除去n的所有素数'沉浸了三个数字中的哪一个– par exemple, pour l'é5 + 16 = 21,第一个因素为2,3,5和7.如果是'我们乘以它们之间的这些因素,我们获得210,比n更大'大多数人数'é原来的。另一方面,为此'é5 + 27 = 32,其第一因素为2,3和5,这些因素的产品为30,额外数量érieur à ceux de l'é原来的。产品很小,因为27和32 n'有小的第一个因素épè几次(27 = 3× 3 × 3, et 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2).

财富’un nombre entier

财富’一个整数,而不是ée d(n), correspond à构成它的第一个因素的平均力量。该图显示了2到2048之间的整数的d(n)。最富有的数字是« puissances pures » (comme 211),其次是Près par les nombres « puissants »(所有第一个因素都是à功率2至少)。机会似乎ré这个分布。

如果你开始à tester d'autres triplets ABC你会看到第二个scénario est extrê稀有的。例如,在3,044三态度中érents avec ab 在1到100之间,它不是'y en a que sept où第一个因素的产品是inférieur à c。 ABC猜想,公式ée pour la première fois dans les années 1980, formalise l'直觉这个案子n'几乎从未发生过。

加écisé回来à l'例5 + 27 = 32,32大于30,但只有很少。 vs.'小于302O.u 301,5O.u même 301,02,值得大约是32,11。 ABC猜想说,对于任何参展商而言 k supérieur à 1, il n'y a qu’有限数量的三胞胎 ABC 对于那么 c 比第一个因素的产品大à la puissance k.

« abc猜想是一个肯定的très élé关于乘法的主题和'addition »,解释了L的Minhyong Kim'Université d'Oxford. « C'est le genre d’énoncé qui donne l'impression de révéler une structure très fondamentale et inédite sur les systèmes de nombres ».

和简单é de l'équation a + b = c signifie qu'un large éventail d'autres problè我陷入猜想的吹。例如,盛大的éorè费玛是关于équations de la forme xn + yn = zn和加泰罗尼亚州的猜想,称为8和9是唯一的两个完美的力量缺点é可爱(在这个8 = 23 和 9 = 32),担心'équation xm + 1 = yn。在某些形式下,ABC猜想将提供这两个的新证据éorèmes et ré焊接一群问题è我的连接仍然是开放的。对于Dorian Goldfeld,的'Université哥伦比亚,猜想« 总是似乎à la frontière du connu et de l'inconnu ».

缺点的财富équences qui découleraient d'ABC猜想的证据确信了é他证明所欠的数字的奥里西人être trè困难。所以当新的s'est réPandue 2012年莫奇乌曾发表过é une dé涟漪,很多éoriciens ont plongé热情地在他的工作中–来吧ôt à有点熟悉的语言和à une pré不寻常的圣人。 D.é完成页面和页面继续完成,然后继续éorèmes dont l’énoncé只要久,而且证据仅在实质上提到« cela découle immédiatement des définitions ».

De vastes champs d’跟随琐碎的断言'une é不合理的结论的标准悬崖ées.

弗兰克卢里拉

« Chaque fois que j'打算不正当地说话'通过专家分析莫奇尤文章,结论是étrangement familiè回复:浩瀚的领域’跟随琐碎的断言'une é不合理的结论的标准悬崖ées », é克里弗兰克拉里里面 在他的博客文章中écembre dernier.

彼得森林有été l'Mochizuki文章的第一读者之一。认识到他的能力é à吸收新的és mathé迅速深入ément, il est allé比许多人更进一步é奥里西人的数字,完成了什么'il a appelé une « 近似 »四个主要项目è他们的出口。 Schearze.été déconcerté par les longs théorè我的简要证据的后续行动,以及’ensemble lui a semblé有效但不实质性。在第二ème et troisième articles, écrivit-il plus tard, « il semble qu'它不会发生太多。 »

然后Scholze到了é在第三个中的推论3.12ème article. Les mathé发动机使用G.énéralement le terme « corollaire » pour désigner un théorème qui est une conséquence secondaire d'un théorème précé更重要的牙齿。但在Mochizuki的推论3.12的情况下,数学ématiciens s'accordent à dire qu'il est au cœABC猜想证明的ur。没有她,« il n'根本没有证据 », éCrit Frank Calegari。« C'est une étape critique. »

这个必论是唯一的éorè我在两个文章中é其证据长于几行–他占据了九页。过度阅读,Scholze已经到了é à un point où il n’arrivait plus à跟随推理。

Schearze,谁'avait que 24 ans à l'é挑选,觉得证明était erronée. Mais il s’大部分时间都在举行à l'é关于莫奇尤文章的购物车讨论,除非'他的意见直接被问到了。 APRUMè这一切,他想,也许être que d'autres mathé发动机会找到IDé重要的是谁échappé在这些文章中。或者可以 - être qu'ils en arriveraient à la mê结论他。 D.'une façon ou d'另一个,社区é mathématique serait sû漠不关心égler les choses.

楼梯'Escher dans la démonstration

在此期间,d'autres mathématiciens ont été与这些浓密物品挣扎。数字’entre eux espéraient beaucoup d'一种réunion consacrée到莫希兹的工作à la fin de 2015 à l'Université d'牛津。但是,虽然几个近距离的数学合作者é日本曼蒂曼试图écrire les idées clés de la démonstration, un « nuage de brouillard » semblait s'射击听众, é克里夫特布莱恩·康拉德在一个纸条 peu après la réunion. « 那些了解这项工作的人应该ê更有效地沟通让他们工作 », affirmait-il.

在他注意到的日子里,康拉德有çU Spontan电子邮件és de trois mathématiciens diffé(包括Scholeze),告诉所有的mê历史:他们有été能够阅读并理解文章'à ce qu'他们到达了特定的段落。« Pour chacun d’entre eux, la dé让他们被阻止的monsstrationé é是推论3.12 », écrivit Brian Conrad plus tard.

Minhyong Kim听到了mêmes réservé目前来自Teruhisa Koshikawa的推论3.12à l'Université京都。和jakob stix也是était perplexe à propos du même passage. Peu à peu, divers thé奥里西人的数字意识到这一必论是était un point d'绊脚石但是démonstration é她是平庸还是莫奇鲁只是需要更好地解释他的推理 ? Ce n’était pas clair.

没有专家谁é倾向于理解参数n'a réussi à les expliquer aux très nombreux mathématiciens qui restent mystifiés.

马修·埃默erton

然后在2017年底,一个谣言'est répandue, à许多人的同情é奥里西人的数量,莫奇尤的物品有été acceptés出版。莫希兹本身ême était le ré审查的主要拖拉机, 数学科学研究所的出版物 (Prims),一种情况, 对于Franck Calegari,污渍 (en général, les éditeurs se récusent eux-mê我在这种情况下)。但是,更多é占用者,很多é奥里西人的数字,文件é仍然难以辨认。

« Aucun expert qui pré倾向于理解参数n'a réussi à解释它们(très nombreux) mathé发动机仍然是mystifiés », éCrivit Matthew Emerton,来自'Université de Chicago.

Frank Calegarari有écrit sur son blog 一张票é写下这种情况« un désastre complet »,一个chœur d'éminents théoriciens de la théorie des nombres a répondu amen. « 我们现在在荒谬的情况下ù ABC est un théorème à京都,但其他地方的猜想 », écrit Calegari.

prims杂志很快ré潘图与来自媒体的请求dé澄清那个文章'avaient en fait pas été acceptés。然而,在此之前,彼得斯森林有écidé de dé公开澄清什么'il avait affirmé en privé à des thé奥里西人一段时间。围绕d的讨论émonstration était devenue « trop sociologique », décida-t-il. « 每个人都说这个n'é不是一个证据,但没有人说:«事实上,有这一点écis où没有人理解démonstration. »

所以,在弗兰克萨格里博客票的评论中,彼得苏德écrit qu'il était « tout à无法遵循图3.1的证明3.8的逻辑 ». Il a ajouté que les mathématiciens « qui pré倾向于理解证据不想识别ître qu'il faut en dire plus ».

Shigefumi Mori,Collègue de Mochizuki à l'Université de Kyoto et également lauréat de la mé达图尔田地,关于é à Peter Scholze d’organiser une ré他和莫奇鲁之间的联盟。 Schotzze有一个客厅é àJakob Stix和2018年3月,他们走了à京都讨论D.émonstration épineuse与mochizuki和hoshi。

L'Mochizuki的ABC猜想方法翻译了这个问题è在关于椭圆曲线的问题中,特定类型'équation cubique à两个变量,x和y。这种转子,哪个é在Mochizuki工作之前是众所周知的,很简单:你关联每个éA + B = C具有椭圆曲线,其图削减L'Abscissons X的轴在值A,B和0.这允许数学ématiciens d'利用富有的椭圆曲线结构,连接到THéorie des nombres à la géométrie, à l’analyse et à d’其他地区(这个ê我的rantposition在cœur de la preuve d'1994年的安德鲁·威廉éorème de Fermat).

长度变化的测量仪器

ABC猜想然后回来了àcertainégalité在两个数量之间ées à椭圆曲线。 Mochizuki的工作翻译了这一点égalité在另一种形式,根据jakob stix,可以être considéréE作为两套体积的比较。推子3.12是通道où Mochizuki présente sa dé这个新的群体égalité, dont la validité entraî将是ABC猜想的。

D.émonsstration,喜欢dé德国彼得希尔兹和雅各布斯蒂克斯,包括à considé两组的卷是原位的és à l'inté两份不同的副本érentes des nombres ré那么被代表的elsésenté作为一部分'六个拷贝的圆差异érentes des nombres réELS,具有通知,详细说明每个副本如何涉及à他的邻居沿着圈子。要了解集合的卷如何相互关联,它是né建议如何在副本中测量与其他副本中的测量有关,解释了Jakob Stix。

« Si vous avez une inégalité两件事之间,但那个’测量仪器是某种方式rétré通过你不控制的因素ô莱兹没有,那么你失去了所有的控制ô什么是r意思éellement cette inégalité », explique-t-il.

C'est à这个关键点'据Schearze和Stix称,事情出错的论点。在Mochizuki连接中,使用的工具é用于测量的S彼此局部兼容。但是当我们旅行时 在某种意义上是一个圆形的圆圈,说谎,我们找到了自己é测量脚跟似乎差异é如果我们走进去’另一种方式。他说,情况,'apparente à celle du célè科尔玛的楼梯çon d'估计,谁爬上攀登,但在他的点之下结束épart.

这种不相容é在体积测量中意味着'inégalité ré杜兰特不佩戴良好数量éS,肯定Schearze和Stix。如果我们调整事物,以便卷测量是全局兼容的,那么'inégalité devient dénuée意义,解释。

Peter Schearze和Jakob Stix拥有« identifié一种无效的方法'argument utilisé », a déclaréKiran Kedlaya,数学ématicien à l'Université加利福尼亚州,圣地亚哥有étudiéMochizuki的文章深入。« Donc, pour que la démonstration是正确的,它必须提出一些东西é比Schearze和Stix D更微妙écrivent.

愚蠢的é通过这种误解完成

和C.’正是déMochizuki说蒙丘。 Scholze和Stix犯了一个错误,éCRID它,在数学对象之间进行任意标识é必须的事项être considérés如同鲜明。无论何处'il a fait part à ses collè莫希克基报道,Schearze和Stix的异议的性质,« elles ont été欢迎incrédulité非常一致(有时伴随着ée 笑声!)和愚蠢的é派系误解也明显错误és aient pu survenir ».

数学é慕利亚人现在必须挖掘érer l'Scholze和Stix参数和ré莫希施加的响应。但Specze esp.èas,与s的情况不同érie originale d’来自Mochizuki的物品,这不应该être très long, puisque l'他的反对意见是必不可少的'est pas très technique. D'autres thé奥里西人的数字« 我们将完全能够遵循我们本周与Mochizuki的讨论 », a-t-il affirmé.

Mochizuki看到了très diffé补救。据他介绍,批评Schoolze和Stix Découle d'un « 缺乏时间éflé数学深度 ématiques en jeu », peut-être associé à « 一种深刻的感觉'不适或缺乏熟悉程度é用新的法律ç要查看数学对象ématiques familiers ».

数学ématiciens qui sont déjà sceptiques à l'éMochizuki的ABC猜想证明Gare可以很好 éScholeze和Stix的报告作为结束'历史,Minhyong Kim说。 D.'autres voudront étudier ces nouveaux éléments eux-mê我的,是什么金他自己ême a commencé. « 我不认为我可以完成è覆盖V.éMe-m升高ê在参加D.之前écision », é把它放在一封电子邮件中。

在过去的两个ères années, de nombreux thé奥里西人的数字放弃了é à试着了解Mochizuki的文章。但如果他或他的支持者可以提供完整的解释ète et cohé年金解释为什么'Scholez和Stix的形象太简单了(假设'elle l'est), « 追逐裂缝,也许是一大步的一步ê让人们给人们回来é de réexaminer cette démonstration », dit Kiran Kedlaya.

与此同时,彼得希尔泽的总结   « 我认为这些物品不应该être considéré■只要Mochizuki n就是证据'不会有几个révisions trè实质性和解释é这更好的这一点étape clé ». « 就个人而言,我没有'真的没有看到一个身份证ée clé这将使我们更接近ABC猜想的证明。 » estime-t-il.

Ind.épendamment de l'本讨论的最终结果,l'identification d'un point aussi spécifique de la déMochizuki Monsstration应该开车à一个较大的cl.é, a déclaré Minhyong Kim. « Jakob和彼得为社区做了重要的服务é. Quoi qu'它发生了,我对这些讨论的事实充满信心’une façon ou d’une autre un progrès ».

 

本文是一个翻译'article 数学的泰坦在ABC猜想的史诗证据上发生冲突,发表é在Quantamagazine.org上 20 septembre 2018.

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