逻辑& calcul

在三角形中剪三角形

是否有可能é将三角形切成给定的数字é小三角形件?今天’hui encore, on dé涵盖新的和卓越的ré这类问题的颂歌。

Jean-Paul Delahaye 用于科学N°500
本文保留用于科学用户

一些ré我们要去的苏丹é送礼者将为教师提供动画课程èmes amusants que l’on résout en ré大图画; D.’autres serviront à设计编程练习和展示’utilité数学中的计算机ématiques; d’其他人将说明到处都是米ê我最多élé结构G.éomé技巧,幻灯片é喜欢需要长推理的问题,有时仍然没有ésolues.

L’énigme du nombre de découpages

有4个façons de dé将三角形切成三个较小的三角形。这些d中的一个é切割(A1)不含内部三角形的三角形 : on dira que c’est un dé首先切割(通过类比使用素数)。当我们肯定的时候’il n’y a qu’un seul découpage premier d’3个三角形的三角形,我们的意思是任何其他découpage premier d’3个三角形的三角形起床ènera à celui-là通过对PR的计划进行持续转变é提供使用的矩形段és dans les dessins.

更简单的语言,两个dé会被认为会被考虑érés équivalent如果有绘画é首先在橡胶板上完美élastique, on sait dé形成叶子’布置使得图纸的线路段保持直à每一刻,没有Dé偷渡或折叠回来,那’on réussit à faire coïncider le premier dé用第二个切割。据说,’il n’y a qu’un seul dé在3个三角形中首次切割三角形« à une dé拓扑训练继续公关ès »。在下文中,我们将不再提及général, cette précision.

另一个R.é苏丹需要更多的护理 : il existe 23 découpages d’4个三角形的三角形,3 d’他们之间是素数。玩得开心à reconnaître les dé第一堂在图中的举办者’encadré1或者更好,尝试找到自己ême les 23 découpages (de B1 à B23).

1.将三角形切成3或4个三角形

D.é在3或4个三角形中切割三角形

是绘图é这是各种FAçons de dé将三角形切成3个三角形 (SCH.émas A1 à A4) 或在4个三角形 (SCH.émas B1 à B23). Si l’on interdit à一组三角形d’形成一个,仍有一个façon (le découpage A1) de dé在3中剪三角,三个découper en 4 (les dé切割B4,B5,B16)。 Trac细分és en rouge dé限制D的三角形é切割;三角形分组形成自己ê我的三角形是蓝色的(découpages « non premiers »).

©用于科学

出现了另一个问题 : les 23 dé他们都真正差异了é拓扑领导者 ? Pour s’确保它是一个méthode. Pour chaque découpage, on considè重新划分部分的会议点é三角形,我们注意到他们的性格éristiques.

为了e dé切割B1,例如,他’y a qu’un seul point inté笑声,它对应à3段的会议。注意这个{3}。

为了e dé切割B2,我们有2分é第一个是3个部分的会议,而第二部分是会议’une extrémitéint point的段érieur à一段。注意{3,1 + 1/2}这个字符éristique du découpage.

第三ème dé切割B3将具有性格éristique {4}。然后for tiangle b4,{}为b5来(1 + 1/2,1 + 1/2,1 + 1/2}(它是n n’y a aucun point intérieur).

为了’ensemble des dé在4个三角形中切割,我们有角色列表éristiques suivante : B1 : {3}; B2 : {3, 1+1/2}; B3 : {4}; B4 :{1 + 1/2,1 + 1/2,1 + 1/2}; B5. : {}; B6 : {1+1/2}; B7 : {1+1/2}; B8 : {1+1/2, 1+1/2}; B9 :{1+1/2, 1+1/2}; B10 : {1+1/2}; B11 :{1 + 1/2,1 + 1/2}; B12. : {}; B13 : {}; B14 : {2+1/2}; B15 : {}; B16 : {2+1/2}; B17 : {1+1/2}; B18 :{1 + 1/2,1 + 1/2}; B19 : {1+1/2}; B20 : {}; B21 : {1+1/2}; B22 : {}; B23 : {2+1/2}.

D.essins dont les caractéristiques sont diffé年金不能être égaux à une dé拓扑训练继续公关ès, car de telles dé形成不会改变角色éristiques noté在诸如我们拥有它们的括号之间é完成的。还有一些情况à considérer de plus près, car :

(a)déCutages B5,B12,B13,B15,B20,B22都是{};

(b)déCutages B6,B7,B10,B17,B19,B21是{1 + 1/2}的类型;

(c)DéB8,B9,B11,B18耦合器类型为{1 + 1/2,1 + 1/2};

(d)DéCutages B14,B16和B23类型是{2 + 1/2}。

为了’确保在这四只猫中的每一个中égories, il n’y a pas de découpages éQuivalent,我们旅行périmè从每个三角形écoupé en considé连续三个峰,然后三个côtés, et l’我们注意到D的段数é切割影响’élé有问题指示分组。我们é削减关联的三个数字és在关联的三个数字的峰会és aux côtés垂直线。如果是两个D.é洞穴在拓扑意义上是相同的,然后他们将有mê我的两个三个号码(à l’ordre près des élé在每个数据包中)。对于D.é例如,切割B5 [0,0,0 | 2,2,2]。

为了es dé削减(a),类型{},我们有 :B5 [0,0,0 | 2,2,2],B12 [1,0,0 | 2,1 + 2,0],B13 [1,0,0 | 1 + 1,3,0],B15 [3,0,0 | 0,1 + 1 + 1,0],B20 [2,0,0 | 0,1 + 2,1],B22 [1,0,0 | 1,3,1]。钩子都是差异érents. On en déduit qu’不能在那里’égalité entre les découpages de type {}.

D.é可切割(b),型{1 + 1/2},给 :B6 [2,0,0 | 0,2 + 1,0],B7 [1,0,0 | 2,2,0],B10 [2,0,0 | 0,2,1],B17 [1,1,0 | 1,1,0],B19 [2,1,0 | 0,1 + 1,0],B21 [1,1,0 | 0,2,1]。

D.é可切割(c),型{1 + 1/2,1 + 1/2} :B8 [1,1,0 | 0,2,0],B9 [2,1,0 | 0,0,1],B11 [2,1,0 | 0,1,0],B18 [1,1,1,1 | 0,1,0]。 D.é具有m的切割b9和b11ê我的两个三个号码的数据包,你必须更仔细看。他们差异è拓扑上,因为两个点intérieurs du dé切割b9在même segment, alors qu’他们是两段差异érents dans le découpage B11.

为了es dé可切割(d),型{2 + 1/2} :B14 [1,1,0 | 0,1 + 1,0],B16 [1,1,0 | 0,1,1],B23 [1,1,0 | 1,1,0]。 D.éCutages B16和B23很好érents :对于B16,从不超过两个extémités des segments de dé切割不加入même côté大三角形,而B23,三个提取物émité这些细分的s加入côté droit du triangle.

因此,附图B1à B23 de l’encadré 1 sont tous différents.

发生了什么事é切割更多三角形 ? Aujourd’hui, on connaît 8 découpages premiers d’在5个三角形的三角形,62 dé首先在6个三角形中切割。但我们没有’确定或已知列表已完成ètes, ni qu’他们不包含来自écoupages équivalents .

计算这些套房été mené由Miroslav Vicher并导致下表,等待确认。

图片

另一个问题ème de découpage fait l’不完美问题的对象ésolues, malgré de récents progrès dus au mathé曼迪维亚和逻辑学家é丽兰迈克尔蜜蜂谁,大约十岁’années, s’est passionné pour le sujet, redé有时在不知道其中一些r的情况下覆盖ésultats établis par d’autres mathé发动机,包括匈牙利米克ós Laczkovich.

Dé切割在类似的三角形

Michael Beeson集中了é son énergie sur le dé三角形切割在较小的类似三角形 :这些是铺路’三角形的三角形。

r.ésultat le plus élé关于这些问题’支持铺路’三角形的三角形 n fois plus petit : chaque côté est n 比c小的时间ôtéD的三角形的记者épart. On découpe chaque côté en n segments de même longueur, et l’on trace à从这些点并行的所有直段èles aux côtés qui s’en déduisent (见下面的图a

2.铺平三角形

2.铺平三角形

任何三角形罐头être pavé par n2 类似的三角形à lui-même et égaux (A).

矩形三角形’angles 30°, 60° et 90° se dé两个类似的三角形的杯子à lui-mê但不同的尺寸é年份(b),三个类似的三角形à lui-même et de mê我的尺寸(c),并且在四个类似的三角形à lui-même et de même taille (D, E, F).

矩形三角形t de côtés nm peut être pavé par n2 + m2 类似的三角形à lui-mê我。三角形g对应à 5 = 12 + 22,三角形hà 13 = 32 + 22 和 le triangle I à 74 = 52 + 72.

©用于科学

L’观察图是有趣的,因为它允许é在视觉上显示公式1 + 3 + 5 + ... +(2n−1) = n2 : la somme des n 第一个奇数值得 n2。我们在五中的原因étapes :

(a)三角形位于és à un même niveau (de la mê我的绘图上的颜色)是1,然后3,然后5,然后7等。 : à chaque étape, il s’en ajoute deux.

(b)因此,小三角形的总数是1 + 3 + 5 + ... +(2n−1).

(C)’每个小三角形的区域是 n2 fois inférieure à l’D的三角形区域épart, car l’Aire像Carr一样变化é长度和côtés小三角形是完全的 n fois inférieurs à ceux du grand.

(d)以来’它们完全覆盖了D的三角形的表面é部分,他们的号码是 n2.

(e)结论 : 1+3+5+...+(2n−1)=n2.

我们将保留的是任何三角形T可以être pavé par n2 petits 相同和类似的三角形à lui-mê我,无论如何’entier n。换句话说,一个découpage d’un triangle en n2 triangles de mê我的尺寸和类似à lui-mê我可以为所有三角形t和所有人提供 不是。

问题G.énérale qui vient à l’esprit est alors : pour quels entiers m 是否有三角形点击 m triangles semblables ?

问题的三种变种è是可能的,取决于是否’我们要求或不是那个百伏és aient la même taille, et qu’它们类似于d的三角形épart :

问题ème A. 为哪个整数 m 是否有三角形胶带 m 类似的三角形à T ?

问题ème B. 为哪个整数 m 是否有三角形胶带 m 相同和类似的三角形à T ?

问题ème C. 为哪个整数 m 是否有三角形胶带 m triangles identiques ?

问题è我很容易。 B很难,但résolu。 C仍然没有ésolu.

L’arithmétique à la rescousse

这是一个很少的推理û aux mathématiciens améRicans Stephen Snover,Charles Waiveris和John Williams,允许résoudre le problème A. On va répondre à la question en dé显示任何正整数 m,有一个三角形胶带 m pavés semblables à T. Ici, on n’impose pas aux pavés d’être de même taille.

让我们给我们任何积极的整数 m。 D.’après le théorème des 4 carréS拉格朗日,Conclicturé通过克劳德 - 气体保存éziriac en 1621 et démontré在1770年由约瑟夫-LOUIS拉格兰法兰,一个整体积极 m s’é写作四个广场的总和é最多。所以有四个案例 : (1) m=n2; (2) m=n2+p2; (3) m=n2+p2+r2; (4) m=n2+p2+r2+s2.

在案例(1)中,Découpage en n2 三角形,任何三角形都是可能的

在案例(2)中,我们使用dé在两个三角形矩形中的矩形三角形的经典切割类似于初始三角形的高度,并在红色é切割这两个三角形,’un en n2 triangles, l’autre en p2 三角形。我们也可以使用déG,H,L类型的粘合’encadré 2.

在案例(3)中,我们使用’un des dé在3个类似的三角形中削减一些三角形,这三个étant à son tour découpé en n2, p2, 和 r2 类似的三角形au triangle de départ.

在案例(4)中,开ède de la même façon à例如dé四个中的粘合’encadré 2.

Découpage possible en n2, 3N2 或者 n2+p2 triangles identiques

问题è我知道哪个整数 m 有三角形胶带 m 相同和类似的三角形à T est aujourd’hui complètement résolu par les mê我的研究人员那些找到的人é l’astuce du théorè拉格朗日。这是他们的解决方案。

- 对于每个整数 m 形状 n2 (nombre carré), 3n2 (triple d’un carré) ou n2+p2 (somme de deux carrés),有三角形T’on peut découper en m 类似的三角形à T et de mê我的大小。整数的整数’这三种形式中的一种是唯一可能的。 S.éries sont :

n2 :O,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,196,225,169,23,324,361,48,4,441,484,529,576,625,676,729,784 ,841,900,961,1024,1089,1156,1225,......

3n2 43,48,75,108,147,192,432,300,363,867,175,168,168,138,172,138,138,197,172,138,138,138,172,172,138,168,172,172,172,172,138,138,172,138,183,172,138,138,138,172,138,183,137,1875,2028,2187,2352,2523,2700,2883,...

n2+p2 :2,5,8,10,13,17,18,20,25,26,29,32,34,37,40,41,45,50,52,65,68,72,73,74,80 ,82,85,89,90,97,98,106,109,104,116,116,109

通过对它们进行分组’à 100  :1,2,3,4,5,8,9,10,12,13,16,17,18,20,25,26,27,29,32,34,36,37,40,41,45 ,48,49,50,52,53,58,61,60,65,72,72,73,81,82,85,89,97,97,98,100。

r.ésultat pour 3n2 provient du découpage en n2 图C的三个三角形中的每一个’encadré 2, dé直接给予,我们希望,3n2 triangles de mê我的尺寸和类似au grand triangle. Pour la série de nombres n2+p2, 应当指出的是’矩形三角形t de côtés nm peut être utilisé n2+m2 撰写类似的矩形三角形的时间à T (看到数字g,h,l’encadré 2

应该指出的是,r的正面部分é苏拉特很容易(我们检查和控制ô关于的结构ées), mais que ce n’不是第n部分的情况égative (consistant à montrer qu’il n’我们没有其他数字我们可以制作摊铺é),这显着更多élicate.

可能性és et impossibilités inattendues

第三ème problème (C) se révèle d’令人难以置信的困难é, malgré quelques progrès récents. Rappelons qu’一个奇迹有哪个值 m 有一个三角形胶带 m triangles T’ identiques (on n’impose pas ici que T’ soit semblable à T).

这在这个问题中令人着迷ème, c’est qu’on découvre aujourd’仍然没有一个人的路面’avait repérés auparavant (以下)。因此,Dé现在可以切割6。更令人惊讶,Dé切割28是可能的。 Michael Beeson L.’a dé覆盖了欠款的程序’aider à démontrer que 28 n’était pas possible  ! Le dé切割44也是可能的。 D.écoupage en 153=32+122 é以前是可能的(如两个平方的总和és),但出现了意外的路面 !

3.通过相同的三角形铺平三角形

3.通过相同的三角形铺平三角形

寻找铺路’un triangle par m 相同的三角形带领à d’étranges dé覆盖,就像这些人行道一样 m = 6,28,44和153三角形。某些价值 m 是不可能的,如7和11(c’est démontré). Pour m = 14, le problème est non résolu: on ignore à ce jour s’14个相同的三角形有一个铺路三角形。

整数 m 有一个三角形的铺设équilatéral par m 相同的三角形是不知名的。 Michael Beeson有D.émontré qu’没有第一个数字supérieur à 3 ne convenait pour m。他也发现了é这是三角形的非凡人行道équilatéral par m = 10 935相同的c三角形ôtés 3, 5 et 7.

©Michael Beeson(等边三角形分为10 935三角形)

两个R.é卓越的烟雾也有été démontrés。第一个表示值 m=7 et m= 11是不可能的 :没有三角形不能être pavé到7或11个相同的三角形 ! N’它不是迷人的’une propriété géné还有简单的三角形n’ait pas été découverte ou même soupçonnée jusqu’à récemment ?最简单的问题不是ré解决方案是以下内容。是否有14个相同的三角形铺路 ?

L’autre découverte réMichael Beeson的Cente是,三角形的铺平équilaté任何高级号码都是不可能的à de 3. On connaît aujourd’hui très mal l’ensemble des valeurs m 在三角形的相同三角形中铺平équilatéral est possible.

三角形à côtés entiers

三角形à côtés entiers – nous dirons « triangles entiers » – sont particulièrement élégants et sont à l’origine d’有趣的问题与g相关联éométrie et arithmétique. Notons d’abord qu’il résulte de l’inégalité三角形(长度)’un côté d’三角形总是inférieure à任何三重态D的其他两个长度的总和’entiers positifs (A,B,C)这样三个整数中的两个中的两种是inférieure au troisième dé结束一个三角形的côtés有长度(A,B,C

问题的问题é其中许多整个三角形’est pas simple. Le résultat proposé2000年由汤姆詹金斯和埃里克·穆勒有以下情况 : pour un périmètre donné 不是, 整个三角形的数量是l’最近的整数 n2/48 si n是 pair, et l’最近的整数 (n+3)2/48 si n是 impair.

当一个D.é切割整个三角形,我们可以吗?çon à n’有整个子三角形 ? Oui, c’est possible. L’encadré图4给出了与四个d对应的四个例子é拓扑困难沙发érents d’三个三角形(顶部的四个图纸)对于每一个23只猫égories de découpages d’四分之一的三角形’encadré1,我们可以找到一个découpage d’整个三角形的整个三角形尊重SCHéma. L’encadré4给了一些(对于其他人来说,看 http ://mathworld.wolfram.com/TriangleDissection.html

4.整个三角形

4.整个三角形

三角形dont les côtés的长度为整数是nommés « triangles entiers ». On peut les découper eux-mê我的整个三角形。每个23中的每一个 dé拓扑削减’四分之一的三角形(见’encadré 1) peut être réalisé用整个三角形。这是一些。完整列表ète, voir http://mathworld.wolfram.com/TriangleDissection.html.

©用于科学

最后,这里有三个énoncés simples à整数三角形 :

- 唯一的整个三角形的长度ôtés et l’区域是整数缺点é可爱是三角形(3,4,5),谁的’面积为6.回忆à ce sujet que l’aire A d’三角形谁的côtés sont A,B,C是 donné通过H的公式éron :

A=(1/4)[(A + B + C.a + b-cA-B + C.-a + b + c1/2.

- 唯一的整数缺点écutifs pour ses côtés et l’其高度之一是三角形(13,14,15)的高度à partir du côté 14 vaut 12.

- 唯一的整个三角形包括’aire est égale au périmè是那些有c的人ôtéS(5,12,13),(6,8,10),(6,25,29),(7,15,20)和(9,10,17)。

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