身体的

统计物理中的硬球

通过在运动中由硬球代表原子,物理学家和数学家发现了测试统计物理学基础的模型,以制定计算方法,了解气态,液体和某些固体的性质。

Werner Krauth. Scient for Scient n°41
本文保留用于科学用户

在科学中,最详细的描述并不总是最有用的也不是最好的。虽然量子力学在二十世纪初,但对原子的理解感到不安,但是必须在气体和液体中大多数现象使用它:作为球形和经典粒子的个体原子的描述是令人满意的。它给出了最有用的物理模型之一,即在其碰撞期间没有经历任何变形或能量丧失的所谓的“硬”球体:一旦发射,球体将无休止地继续,如受利于施肥台球。所有的注意力都支付给集体效果,非常复杂,由大量这些简单均匀的球体的演变产生。

这种三维组描述了罕见的气体,例如氩气,以及所有稀释的气体以及简单的液体,但其重要性来自其他地方:它揭示了物理学的概念,例如压力和温度,以隔离它们和测试他们。通过二维定义,二维堂兄模型对地面物理和接口也非常兴趣。

很长一段时间,硬球模型一直支持统计物理学的发展。理解,这些碰撞原子很好地描述了本质,物理学家开发了两种方法。遵循颗粒的运动和微观相互作用根据经典力学的规律。另一个致力于通过热力学量,例如温度和压力来描述宏观 - 液体,固体和气体。 Ludwig Boltzmann(1844-1906)从1871年阐述的ergodic假设假设这两种方法都是等同的。这一基本假设仅针对硬球,仅在2003年3月,由Mathematician Yakov Sinai概述了1970年获得的两个二维球体的证据。

我们将从数值模拟的角度来看这两个愿景,我们将指示硬球的分析是如何预测气体,液体和有时甚至固体的不同行为。

lucrece原子

在他的大自然中的卓越工作中,诗人Lucrece(我们的时代的一世纪)已经想象了像物体没有结构的原子,在空隙中以高速移动。它甚至规定原子无法从其自身阻止,在其初始发射器上持续不断地继续:

« 但是当简单且固体的原子在空隙中移动时,没有延迟它们,自主单位没有独特的部分,从它们的初步方向上飞着同样的臂,它们肯定会达到极端速度。 »

通过原子之间的相互作用描述,此图像补充:

« 是的,你会经常看到这些机构改变你的道路,然后在盲目的冲击下转身,有时在这里,有时在那里,各处和各个方向。 »

理想的球体,在不旋转或摩擦的情况下移动,仍然是原子的最佳表示之一。因此,描述由Lucrece想象的球的“盲冲击”的后果足以损失能量,以达到硬球的模型。

囚犯球体

第一个被驯服的工具没有诗意,但数学是丹尼尔伯努利(1700-1782),这是一个杰出的科学家家庭。在其流体动力学(1738)中,这个数学家,物理学家和医生想象一个非常大量的微小球体以高速移动,并通过可移动盖(活塞)和加权捕获在封闭的圆筒中。

一方面,这个活塞经历了重力,往往会落下。另一方面,小球体撞到活塞并将其推着。这些拮抗效果补偿,使活塞在一定高度上平衡。当然,这种高度随粒子速度而增长,重量减轻。根据与球体的碰撞和引力吸引力的碰撞,活塞将执行不稳定的运动。伯努利通知我们可以考虑“几乎无限”粒子的数量。在这个限制中,体积波动变得可欺骗:活塞的高度需要稳定的值。

Bernoulli了解,这是它的主要贡献,统计模型允许常规行为,与日常经历兼容。它显示(具有略微模糊的论点),如果颗粒的总体积相对于气缸的体积非常小(“完美气体”的限制),则压力和体积之间的关系(用于恒定粒子的平均速度)遵守博伊尔 - 玛丽特的法律:通过加倍重量,活塞的高度下降了一半。当它们相互逆时针时,需要无限的重量来实现球体的最大压缩。 Bernoull也明白,这种“排除卷”修改了博伊尔 - 玛丽茶杜完美天然气的法律。

因此,Bernoulli将概念性归因于多个世纪以后,Boltzmann,气体动力学理论。另外,如果一个加倍硬球的速度,如果对活塞的冲击频率会增加,但是每个冲击的影响的效果也将是应该施加四个的方式初始重量以保持活塞在相同的高度。该观察结果构成了一个壮观的定理:在恒定体积中,硬球系统的压力与颗粒速度的平方成比例,并且无论其尺寸如何。

如何将这个想法付诸实践,以研究气体颗粒的速度?伯努利,圣彼得堡的数学教授,由寒冷的一天越来越多地制成一个气体活塞。然后他标志着活塞的位置。然后将活塞放入沸水中,通过添加重量(使活塞的高度保持相同)来倾斜抵抗的倾向。根据定理,当活塞在沸水中时,在沸水中的重量和重量的商量,如果空气真正包括硬球,如果在测量期间没有颗粒从腔中逸出!

为了欣赏伯努利的愿景,记住,根据现代定义,身体的绝对温度与原子速度的平均平方成比例,乘以它们的质量。 Bernoulli已经确定了硬球系统在温度和压力压力的情况下与双重温度和压力相同的体积系统。因此,硬球系统的状态仅取决于单个变量,压力和温度的商。凭借其定理,伯努利将他的手指放在硬球和现实气体之间的差异,压力和温度不再受到这种绝对比例的影响。

计算冲击

为了在我们的理解中进行,分析在接触时改变运动方向和粒子速度的两个硬球的碰撞是有用的。利用最小的数学行李,明确地确定这两个领域是否碰撞。如有必要,在没有近似其碰撞时间的情况下计算它们在碰撞期间的位置和碰撞后的速度和方向。

从初始给定的球配置(位置,速度,方向),所以我们可以在时间上发挥完美的台球,并准确:这对每个球体来说足够,以计算下一次反射的时间。通过边缘。类似地,一个计算每对粒子,下一个震动的时间(如果发生)。此过程唯一地确定完成完整系统的直线集的事件(冲击)。在每次冲击和其成分的速度和方向的变化之后,系统留下了新的动力。

因此,定义了一个计算过程(算法),称为“冲击冲击”,其可以与纸张和铅笔如计算机一样。该程序可以跟踪系统的演变,并且不需要在小片中切割任何时间,而微分方程分辨的情况如此。通过这种“冲击休克”的分子动力学算法,物理学家似乎能够通过数值计算来解决硬球的任何问题。现实更复杂。

数字困难

碰撞序列,数字上的台阶上的数字需要极度精度(计算或手势)。如果台球专业人员未能在一对球之间提供超过两三个Ricochets,在尾部刺激后,计算机遭受了类似的精度问题。随着常规计算器的数值精度,十几个球碰撞的后续行动是可行的,而计算两倍的计算需要约20个有效数字的准确性。因此,目前的计算机程序能够为我们的四球台球每秒处理数百万次冲突,但仅当准确性限制为10或20位。但是,通过如此精确度,我们无法在大量碰撞的序列之后真正预测配置。

对数字误差的这种敏感度来自球体表面的凸起,比尔德球员众所周知的小轨迹误差的放大器(一个人可以用三个带播放台球,其中反射不放大,但它是不可能在其他球上播放三个篮板)。自凸起是凸起的残酷背心是必不可少的成分,使台球成为一个有趣的数学结构,因为我们稍后会看到。尽管有这种困难,但物理学家通常会假设一般而言,不准确的是在系统的平均值(我们必须关闭一点眼睛)。

原则上,可以在初始条件下在任何时间确定系统的完整演进。该程序 - 分子动力学 - 因此由LucreCe监测所有粒子:

« (......)作为一个永恒战争的士兵沉迷于中队战斗,没有休战而在没有休战的情况下战斗并始终激动,根据多种联盟和分离 ..

该程序提供了令人满意的结果,但它需要相当大的努力,甚至不成比例,以确定平均数量,例如压力与系统体积之间的关系。

全球方法

从1871年开始,Boltzmann为统计物理建立了一种新的方式,更摘要,也更简单。其原则并不像硬球系统一样清晰地反映任何地方:它假设在硬球系统中,最终会出现各个“法律配置”(无重叠)。假设是,在无限持续时间的进化期间,每个可能的配置都出现相同的概率。具有此属性的系统是ergodic。

想象一下,我们可以在台球表上随机放置一个球体,使得每个位置的概率相同。为了生成四个球的随机配置,可以独立地将每个球放置并仅接受配置而不重叠(见图5)。这是所谓的蒙特卡罗方法,由Mathematician Stanislaw Ulam于1946年推出。使用随机数发生器,可以在几行中的计算机上编程。它是算法的前兆,更适应具有大量粒子的系统,由Nicholas Metropolis及其同事于1953年阐述。在其所谓的“大都市”版本中的Monte-Carlo算法今天普遍地。用于物理学,一旦我们处理复杂的系统。

这种概率方法有什么有效性?换句话说,在完美的精密计算机上,在完美的精密计算机上,在完美的精密计算机上,将在蒙特-Carlo算法生产的样本之后是相同的,将是相同的吗?如果这个问题特别逃脱了任何经验验证,那么它确实是精确的数学假设的主题,所谓的“Boltzmann-Sinai”遍历假设。

1970年,Mathematician Yakov Sinai设法证明了第一个重要结果:在改进的台球上的两个硬球系统中的两个硬球系统的遍及性(具有定期限制)。西奈证明(长期52页)表明,遍历遍历不仅仅是一个经验概念:它符合具体和重要系统的精确定义;它适用于成品系统,远远超出了统计物理创始人的希望。证据的关键要素正是球形表面的凸起,相同的凸起,这使得模拟困难,因为它引入了对准确性的敏感性。由于西奈的证据,研究人员将结果概括为越来越复杂的情况。 2002年和2003年的NándorSimányi刚刚跨越了一个决定性的步骤。考虑到具有不同群众的任意数量的球体的系统,它已设法证明几乎任何群众分布对应于ergodic系统。

因此,物理学家具有第一系统,遍历遍历假设的系统。因此,它具有保证时间平均值与可能配置的整个平均值相同。该系统甚至具有有限数量的硬球,稍后会访问所有可能的配置。这种行为切片具有其他有限经典动态系统,包括太阳系。后者不会采取与外部压力兼容的所有配置。因此它是非ergodic。幸运的是,幸运的是,地球不会在太阳系的冰冷边界的情况下,既不是太阳的冰冷边界的任何风险(在宇宙中看到和订购:科学的定理Kam,1993年6月)。

结晶球体

让我们采取伯努利提出的初始问题:如何计算系统状态方程,也就是说系统之间的关系和系统的体积(活塞的电平)。数值模拟尤其是Monte-Carlo方法,尽管它们的局限性(他们无法治疗非常大的系统的事实),但证明了不可替代的符合问题。通过施工,在寻找均衡量(温度,压力等)时,蒙特卡罗方法在寻找均衡量(温度,压力等)时,而分子动力学使得可以计算运输量,例如粘度。

当密度非常低时,存在根据密度的功率通过发展表达其宏伟的分析方法。这些分析方法不能使其可以治疗高密度并且不提供转换到结晶状态。这是本文中勾勒出的数值方法,包括Monte-Carlo算法的Monte-Carlo算法,采取了所有重要性。描述气体发生的事情,首先是致密的,我们越来越多地压缩。

当密度较弱时,颗粒在硬球体气体中的两个冲击之间覆盖大距离。在进一步的压缩中,系统变得更致密,并且越来越像液体,在两个冲击之间具有自由介质路径,与颗粒尺寸相当。应该注意的是,在该系统中,气体和液体之间没有真正区分,或者这两个状态之间的转变。

另一方面,当压力再次增加并且系统的体积达到最大压缩体积的大约1.5倍(当所有球彼此相对时),液体凝固。它突然变得旦进是旦进的并且在晶相中沉淀,直到最大压缩,晶体在透镜的透镜配置中,通过开夹,通过ChristophPöppe,在这个文件夹中看到了开普勒猜想。

我们的诗人Lucrece从来没有怀疑休克互动的颗粒系统可以变得坚实,因为他说原子:

“所有那些更密集的公司,只有低间隔和缠绕在他们复杂的数字中的纠正构成了石头的硬根,铁的野生尸体和他们的所有研究员。 »

由于出现直观,液体和固体之间过渡的概念而没有吸引人的分子力使得非常不舒服,因为我们用于阳极离子之间的静电吸引力的离子晶体(如NaCl,表盐)的图像( na +)和负(cl-)是结晶的主要actor。难以忽视硬球的分析,忽略了相互作用并保持这种相转变的存在和现象学。

这些所谓的“熵”过渡(其中仅来自颗粒的空间占用的相互作用),其硬球的结晶是第一示例,现在已经很好地建立。这些过渡在液晶物理,聚合物或胶体中起着主导作用。

两个维度的争议

丰富的应用应用是二维硬球系统。在该系统中,仿真方法使得易于实现无序状态和有序状态之间的过渡的存在(参见图7)。二维晶体的概念复杂,因为该理论正式禁止在有限压力下存在完美的二维晶体(具有长范围的粒子位置)。无序状态和有序状态之间的过渡归因于1962年的物理学家桤木和Wainwright的数值模拟,以分子动力学的算法“冲击冲击”。即使在今天,并不完全理解导致来自图7A的无序相和图7B的密度结晶状态的机制。我们的理解通过缺乏能够对致密系统进行采样的计算方法来禁用,并且包含几百或一千颗粒,而图5的四个颗粒非常容易。

理论上的工作,数字模拟甚至在理论上靠近硬球的乳液的实验。积极追求。无序状态(液体)和晶体(固体)之间的热力转变伴随着硬球的迁移率的非常强烈的减少。

在系统中可以在什么条件下在任何情况下阻塞的问题,而不是结晶,但是混乱,高压或高密度,在鞍座上。明确的答案将在眼镜上提供非常有价值的信息,这些无序的“液体”,只需停止流动,其球体“仅以低间隔反弹”。但这是另一项辩论,非常重要,硬球的另一个无数方面......

订阅和ACC.édez à plus de 20 ans d'archives !

12号éros + 4 hors-série
在纸张版本+ numérique

+ ACC.ès illimité à plus de 20 ans d'archives

我是'abonne

订阅和ACC.édez à plus de 20 ans d'archives !

12号éros + 4 hors-série
在纸张版本+ numérique

+ ACC.ès illimité à plus de 20 ans d'archives

我是'abonne

我们的上一篇出版物

回到顶部