身体的

多米诺骨牌效应

我们可以估计多米诺骨牌中瀑布的传播速度。但是,该现象保持其灰色区域。

让·米歇尔·科蒂(Jean-Michel Courty)和ÉdouardKierlik 对于科学N°410
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多米诺骨牌效应?从地缘政治到金融,这种表达已渗透到许多领域。它指的是在第一个元素被挥动时在一排多米诺骨牌中观察到的连续跌落:它掉落了相邻的多米诺骨牌,它位于下一个上,依此类推。在2009年的多米诺日活动中,有4,491,863张多米诺骨牌落入4,800,000张,创下了新的世界纪录。除了表演之外,该节目的视频还很吸引人:“下降前沿”传播的速度有多快?是否存在使该速度最大化的最佳间距?多米诺骨牌可以爬什么坡度?尽管该系统看起来很简单,但最近的工作表明,尚未完全理解所有内容。

速度通过尺寸分析

所谓的尺寸分析可以估算一排多米诺骨牌的瓦解的传播速度。相关的物理参数是什么?首先,存在重力加速度g,因为正是重力使多米诺骨牌掉落了。然后是直立的多米诺骨牌的高度h和连续多米诺骨牌之间的间距与该高度的比值k;这两个参数完全表征了问题的几何形状-在假设多米诺骨牌的厚度与其他两个长度相比足够小的情况下,仅对无限薄的多米诺骨牌的理想情况进行了较小的校正。尽管如此,此厚度对于多米诺骨牌站立还是有用的。

多米诺骨牌的质量不会干预:实际上,在重力是驱动力的问题中,只要不考虑耗散力,质量就永远不会出现在最终结果中,因为它是重量的一个因素,导致运动,而惯性则与速度变化相反。因此,摆的振荡周期不取决于其质量,也不取决于波动的速度,也称为重力波,不涉及水的密度。

通过这样确定三个参数g,h和k,只能以一种方式获得速度:将– – gh(具有速度的维)乘以k的未知函数(无因次)。通常,在这样的尺寸分析中,比例系数约为1(这是物理学家的信念!)。因此,对于四厘米高的多米诺骨牌,速度约为每秒60厘米。在家或观看视频的经历使我们相信,估算值给出了正确的数量级。

怎么走?第一种方法是考虑不平衡的多米诺骨牌倾斜,而不与前一个多米诺骨牌接触,直到碰到下一个多米诺骨牌。在这种假设下,传播是通过一系列独立的冲击和倾斜完成的。

这种建模的优点是可以解释为什么多米诺骨牌达到极限速度。在撞击过程中,移动的多米诺骨牌会倾斜:因此,其撞击点的速度不是水平的,而是向下倾斜的。另一方面,撞击的表面是垂直的,但是最初静止的撞击的多米诺骨牌获得了特别的水平速度。不同于Pétanque中的瓷砖,动能只有一部分会从一个多米诺骨牌转移到下一个。

能量转移为两个?

为了清楚起见,假设转移了一半的动能。在生产线开始时会发生什么?在撞击过程中,第一个没有初始速度的多米诺骨牌获得的动能E等于其从垂直位置掉落时损失的势能。因此,第二个多米诺骨牌以能量E / 2开始下降,当碰到第三个多米诺骨牌时,以另一个能量E结束,即总共3 E / 2。第三个多米诺骨牌以3 E / 4能量开始,最终以7E / 4能量结束,依此类推。随着冲击的进行,多米诺骨牌会获得能量,但是速度不会无限增加:该能量趋向于极限值(此处为2E)。

该模型非常适合进行分析或数值计算,以准确描述两次冲击之间多米诺骨牌围绕其边缘的旋转,例如,计算跌倒的持续时间,然后计算传播速度。不幸的是,通过将该模型的预测与测量结果进行比较,存在明显的分歧,特别是在多米诺骨牌间距的演变上。

虽然该模型预测当多米诺骨牌聚在一起时速度会急剧增加(然后震动看起来越来越像瓷砖),但只要多米诺骨牌之间的距离小于其高度的四分之一,实验速度的变化就很小。而且,如果人们试图通过积分摩擦或能量损失来完善这一模型,那么对于平均间距,人们可以获得低于实验速度的传播速度。

要了解这些分歧的根源,必须观看用高速相机拍摄的电影。他们表明,多米诺骨牌在撞击后仍保持接触:跌倒是一种涉及整个多米诺骨牌的集体现象,例如,当间距约为高度的40%时,多于五个。这些多米诺骨牌互相压紧,因此领先的多米诺骨牌的倾斜也使其前身移动。

集体动力

ÉcolePolytechnique的Christophe Clanet有充分的理由来确定在这一阶段中多米诺骨牌获得的能量。从一个多米诺骨牌开始掉落到与下一个多米诺骨牌碰撞的那一刻之间,其他多米诺骨牌继续旋转,每个多米诺骨牌都朝着一个多米诺骨牌倾斜。因此,最终,该图移动了一个多米诺骨牌:每个中间角度有一个多米诺骨牌,一个少了站立的多米诺骨牌和一个又一个躺着的多米诺骨牌。因此,两次冲击之间回收的能量就是单个垂直多米诺骨牌的势能:它根本不取决于多米诺骨牌之间的间距。

这个出色的观察结果怎么办?诱人的想象是这种能量仅驱动头部多米诺骨牌的运动。它遵循有趣的预测,例如最大传播速度的计算(– – 3倍以上的估计值),以及与平坦情况相比,多米诺骨牌在爬升和下降时变慢的事实(这仍然令人惊讶)。

但是,很难对此感到满意。一方面,似乎我们确实必须考虑整体动态:在大多数情况下,这相当于引入有效的惯性矩(所有多米诺骨牌的贡献均下降)来研究头部多米诺骨牌的倾斜。承受其他所有人的重量,他跌倒的速度要比独自一人快。另一方面,实验测量不能总是给出预期的结果,也许有必要考虑到多米诺骨牌特有的其他参数。他们的厚度?相互摩擦?地面上的摩擦?

因此,令我们感到惊讶的是,从未提及在撞击过程中地面滑倒的可能性最小。所有模型都认为多米诺骨牌会立即在其边缘倾斜...因此,仍有空间(和工作空间)加深该主题的抵抗力。这个圣诞节有儿童礼物可以做些什么?

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