数学

质数记录

成千上万énaires, les mathématiciens conç我们使用公式来计算素数。 2019年1月,élaborée par l’auteur a généré une sé100个质数的频率。 VS’est un record ! Explications.

西蒙·普洛菲
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质数图

7天é2018年12月,创纪录été被打败的已知最大质数的数字。 2 82589933 − 1, qui comporte prè的2500万位数écriture dé奇特的我们应有此表现(é整装待发) 伟大的互联网Mersenne Prime搜索。这个项目融化了é乔治·沃尔特曼é团结志愿者à提供他们的计算机进行计算,分发é,即所谓的梅森素数,c’est-à-dire de la forme 2p − 1, p é都是素数。因此,我们将有’une formule pour dé完整素数 ?

一个公式,但是哪个 ?

这个n’est pas aussi simple, 不 amment parce que tous les nombres premiers ne 是 pas de la forme de Mersenne, 非常s’有需要。因此,总是出现问题 :是否有素数公式 ? La ré答案是……是和不是。

和D’abord qu’我们用公式来表示 ?例如,它可以ê像发现的那样成为所谓的封闭式ée由瑞士的Leonhard Euler在1772年 : p(n )= n2 + n + 41。 n 在0到39之间,它是dé预定40个质数d’affilée :41,43,47,53,61,71,83,97,113,131,151,173,197,223,251,281,313,347,383,421,461,503,547,593,641 ,691、743、797、853、911、971、1,033、1,097、1,163、1,231、1301、1373、1,447、1,523和1,601。此外,公式为élé迷人而简单,但有其局限性。对于 n = 40,我们发现1 681 ... 等于412.

2010年,弗兰çois Dress和Bernard Landreau找到了一些é更好但更复杂的ée (往上看)。有了这个polynô我,我们得到素数 n 之间–42和15。找到此polynôme a tout de même demandé six mois d’一连串的努力’ordinateurs.

因此,很难产生一个可以定量的公式é de nombres premiers ? La question a été威廉·米尔斯(William Mills)于1947年彻底关闭é可以给出任意数量的质数的公式。如果A = 1.3063778838630806904686144926 ... ⌊A3n⌋给出所有质数的任意序列。这里⌊x⌋ indique que l’on prend la 整个部分ère du nombre x。的延续ébute ainsi :2,11,1361,2 521 008 887 ... 但是,值增加très vite, le 8e a déjà762位数字和20e 约六十亿 !

1951年,如果 g0 = α = 1,9287800... 和 gn + 1 = 2 gn 所以 ⌊gn +1⌋ = ⌊2 ... 22α⌋永远是第一位。素数缺点éCutifs只代表ésentés par α。获得的顺序是3、13、16 381 ... 4e 术语具有4,932位数字以上且没有人’a osé calculer le 5e ...

因此,这两个序列确实会产生无穷大é质数,但增长率décourage les plus téméraires. Peut-on é开发公式以提供任意长度的素数序列,但具有合理的增长率 ?

Le 狩猎板

Le « tableau de chasse » ci-dessous ré投降公式和过程édés为质数。大号’提到可计算的无限é表示计算或处理édé peut se dérouler jusqu’à什么资源’é画。例如,Primesieve程序是最快的。它可以产生所有素数直到’à平均每52分钟内有1万亿个计算机。在当前版本中,列表最多可以’à 264或1.844× 1019,但数字ré声称的4.1艾字节’espace pour être stockés ... 该程序是背景é sur le crible d’Ératosthène, du nom d’un mathématicien grec du IIIe siècle avant 不 re è回覆。该算法过程ède par élimination :我们删除2中的数字à N 的所有倍数’一个整数,这样’à最后只有质数保留。

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无论如何,我们试图计算素数,并且拥有不同的财富。

L’筛网的可计算无穷大d’Ératosthène, à l’é在发明者的时候,était d’另一个订单,更多的是人工计算。 même chose s’小贴花éorè来自费马 p 是素数,如果 a 是不能被整除的整数 p ,所以 ap − 1 −1是的倍数 p。这个th产生的质数éorème 是 probables 和 faibles. Si p 非常è大,它构成né尽管如此,对素数的实际概率检验é d’un nombre candidat.

至于梅森数字(形式2p − 1), ils 是 limités par la taille de p。为了测试候选列表中的单个指数,需要在一台功能强大的计算机上进行一个甚至两个月的高性能计算。é受让人。因此,Gimps会分配计算结果。我们可以做得更好 !

为此,首先è重新接近是à建立一个低矮的套房ée sur la repré以10为基数的句子,例如 an +1 = 10ana0 = 7.3327334517988679。我们得到7、73、733、7333、73327、733273 ... 一个质数序列,但是其中s’arrê您很快,因为缺少此表格中的重要条款。 VS’est l’鲜为人知的套房之一é紧张。另一个很好的基础érieure à10,但大小固定,将被强制ément prise en défaut, 不 amment à cause de l’é素数之间的增长ît rapidement.

随着功能的增长î更快,像 nn 我们变得更好é结果,例如 c = 0.26558837294314339089712945366546 ... 和 an = ⌊ cn n⌋. Elle s’arrê19个学期后的您,从这里开始 a3 à a22。 VS’是最好的été trouvée。第一个素数 an 是  :7,67,829,12391,218723,4455833,102894377,2655883729 ... 最后一个 :1551723723179991864497606172809。

再说一次êmes raisons, le procédé之后停止工作’un moment. La méthode est fondée在个人程序上。

在第二种方法中,我们考虑è是Mills类型的公式,Wright的公式étant écartée, car elle croî太快了。问题è然后对我来说,找到一个增长足够缓慢以产生任意长度的素数序列的函数。

采取以下 an + 1 = an2an +1,在OEIS目录中称为Sylvester(A000058,l’encyclopé整数序列在线死亡)。这个续集是这样开始的, a0 = 2  : an = 2 ,3,7,43,1 807,3263443,10 650 056 950 807 ... 都不是质数(1 807 = 13× 139), mais é令人惊讶地,这些项的逆的总和为1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + 1/1 807 + 1/3 263 443 ... égal à1.然后我们可以询问’on peut trouver un a0 不再是整数,而是réel,它产生质数。足以’使用功能« partie entière » ⌊x⌋. La réponse est oui.

a0 = 1.6181418093242092, an = 2 ,3,7,43,1 811,3 277 913,10 744 710 357 637 ... 增长要低得多érieure àMills公式的公式 富裕的 à赖特的。每个词约是公关大小的两倍écé牙齿,导致所有ême à a14 = 9.838 ... × 101 667.

我们可以选择我吗’公式pr中的指数écé凹陷使生长更慢 ? Oui, grâce au recuit simulé,我们很快就找到了 : si a0 = 43.80468771580293481 ... 并使用l’arrondi de x 不 é {x},我们得到Sn = { an }和 an + 1 = an5/4。 VS’现在是OEIS目录的A323176套件 : Sn = 113、367、1607、10177、102217 ...

似乎有效 !让我们以较小的指数和 a0 精心选择。例如,如果 an +1 = an11/10a0 = 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000 049.31221074776345 ...  :

 图片
http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/people/Abb.4 得自H Loeffel,Blaise Pascal,Basel:Birkhäuser1987.DSB 9,316-322。

与参展商égal à 3/2 和 a0 = 2 ,038239154782 ... 我们得到下面的质数序列: 

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C’est dé现在是套件A323611。另一个示例提供了小的素数。用 a0 = 3.34683553593243081 ... 和一个指数égal à1,251295195638 ... 以下(A323065)是 :3、5、7、11、19、41、103、331、1 423、8819、86477、1504949 ...

通过选择 a0 足够大,我们可以使用指数trè小,例如101/100。是 a0 = 10500 + 961.4993763378507 ... 我们得到100个素数的序列,最后一个n’只有1340位数字。因此,它打破了2010年的记录(58个质数与一个polynô我和26岁时有进步étique). Notons né但是当它们的大小dé如果传递20位数字,则获得的数字仅是可能的质数。是 a0 选择得很好,我们推测’exposant peut être aussi près de 1 qu’期望(限制增长)。

获取所有素数 ?

有了这种类型的公式,我们能否得到所有素数 ?为此,例如我们可以从’任意质数,然后下降到’à 2. C’有可能通过procédé使用1逆α, α étant l’参展商。因此,从质数10开始100 + 267和α= 0.38562256415290 ... 我们得到742123524365563、542489、163、7、2。

我们发现反向序列开始à 2 与 a0 = 2 .1322219996628413452 ... 和l’exposant 1/α= 2.5932092490404286167308 ... 该原理在两个方向上均有效 !

所有这些计算décrits 是 empiriques. En pratique, on rrive à géné任意数量的质数,且序列增长最少。公式更多é少于米尔斯和赖特。À partir d’给定素数é,我们可以下去’à 2 和 à从2我们可以得到一个无穷素数序列的族。

记录是为ê被殴打,用桅杆ériel informatique adéquat和一定的计算时间,100个质数的序列可以être étendue jusqu’à1,000,000位数。更好,当我’指数是3/2,我们推测所有素数都可以être générés. Reste à le démontrer...

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