Ce texte 东une traduction de l’article “惊人的”数学桥梁超越了费马的最后定理,发表于 QuantaMagazine.org 2020年4月6日。

数学

Langlands程序:费马最后定理的“数学桥梁”越来越大

Les chercheurs ont découvert comment étendre la portée d’une correspondance reliant 他们之中 continents éloignés 数学ématiques, celui des équations 双啡烷s 和 celui les 形成s automorphes.

埃里卡·克拉里希(Erica Klarreich)
Langlands计划

在début des années 1990, lorsque 安德鲁·威尔斯 证明é le dernier théorè来自费马,他的证明有été saluée不仅是数学上的巨大进步é机械师,但也’humanité tout entière. L’énoncé du théorème 东d’une grande simplicité : il postule qu’il n’没有严格的正整数x,y和z,因此l’équation xn + yn = zn 对于 n SUPérieur à 2. Pourtant, pendant 更多de trois cent cinquante ans, cette simple affirmation a résisté à des lé特别是候选人érant Démontrer. La quête d’une 证明a commencé quand le mathématicien franç皮埃尔·德·费马é在1637年,关于’une copie des 算术étiques,de Diophante, ajoutant : « J’en ai découvert 一种démonstration véritablement merveilleuse que cette marge 东trop é范围狭窄。» Pendant des siècles, les mathé专业人士和业余爱好者都在寻求é la preuve évoquée par Fermat – ou n’任何其他。

Démonstration qu’安德鲁·威尔斯终于bâtie (aidé par 理查德·泰勒) 东quelque chose que Fermat n’aurait jamais imaginé. Il s’est attaqué au théorème de faç一个间接的,通过连接两个域的概念éloignés 数学ématiques. 这些outils n’étaient qu’une petite partie d’un large « pont »在两个不同的大陆之间 des mathé数学,包括数学é科学家猜想é l’existence. La 证明d’安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles),充满了’idé新的和深的éclenché 一种cascade de résultats SUPplémentaires des 他们之中 côtés de ce 桥.

De ce point de vue, la 证明impressionnante d’Andrew Wiles n’est qu’une minuscule pièce d’un puzzle beaucoup 更多vaste. Sa 证明était « l’une des 更多belles ré数学上的ussitesématiques du xxsiècle », déclare 托比吉,de l’伦敦帝国理工学院。然而,« ce n’était encore qu’一小块 » du 桥, connu sous le nom de « Langlands计划 ».

Le 桥 complet offrirait aux mathématiciens l’espoir d’éclairer de vastes pans 数学é通过传递概念’un continent à l’其他。很多问题è我的,他的最后一个éorè来自费马,似乎很难à traiter d’un côté du 桥, mais 对于raient être reformulé具有概念归属的à l’autre continent mathématique, ce qui 对于rait les rendre 更多faciles à résoudre.

四月ès qu’Andrew Wiles a établi sa preuve, d’autres mathé数学家开始é à étendre le 桥 qu’il avait établi entre des régions un peu 更多grandes des 他们之中 continents mathématiques. 但 ils ont alors été confrontés à一堵墙。有两个自然的方向élargir ce 桥 mathé数学,但在两种情况下éthode utilisé理查德·泰勒和安德鲁·威尔斯的著作’est heurtée à ce qui semblait être 一种barrière insurmontable.

安德鲁·威尔斯

安德鲁·威尔斯, en visite à Beaumont-de-Lomagne (Tarn-et-Garonne), où 东né Pierre de Fermat.

©克劳斯·巴纳/ CC BY-SA 3.0

« 人们长期以来一直在努力克服这一障碍 », indique 安娜·卡莱阿尼(Ana Caraiani),de l’伦敦帝国理工学院。« 我们最终认为’était impossible. »

但 ré最近两篇– représentant l’aboutissement des efforts de 更多d’une dizaine de mathématiciens – ont surmonté cet 障碍, ré在很大程度上解决了这两个问题èmes. À terme, ces ré结果可以帮助数学ématiciens à prouver 一种version du dernier théorèFermat在某些系统上的应用è我的数字超越à正整数。

Ce 是des « résultats majeurs », souligne 马修·埃默顿,de l’université de Chicago. « 一些基本原则é矿石编号正在’é合并,我们开始çons tout juste à comprendre ce qu’ils représentent. »

真空中的针头

A Côté du 桥 de Langlands 东le domaine des équations les 更多simples que l’on puisse écrire : les équations « diophantiennes ». Celles-ci 是des équations combinant des variables, des 展览会ants 和 des coefficients, telles que y = x2 + 6x + 8, ou x3 + y3 = z3。成千上万énaires, les mathé机械师正试图é完成哪些整数是的解’une é给定丢丢丁方程ée. S’他们首先是有动力的és par la simplicité和这个问题的自然性,他们的一些作品é领域中的视图与密码学一样具体。

自从’é古希腊人的时间,数学é数学家知道如何找到完整的解决方案ères des é丢番图方程d’一两个变量和程度é 2 maximum (le degré 东l’exposant le 更多grand de l’équation). 但 la recherche de solutions entières 东tout sauf simple 对于 les équations de degré 更多élevé, à commencer par les courbes elliptiques. Ce 是des équations de degré 3 de la 形成 y2axy + by = x3cx2dx + e,例如y2 = x3 + 4x + 7. « Ce problème 东extrêmement 更多difficile » que 对于 les équations de degré 更多faible, commente 托比吉.

Langlands桥连接世界é具有自守形式的丢番图方程(一种généralisation de l’idée de fonctions pé定期)。这些功能可以’apparenter à某些瓷砖的着色页é感觉很多é尝试。在特殊情况下étudié由Andrew Wiles设计,铺路可能类似于élèbres illustrations d’铺有磁盘的Escheré的模式是répè你越来越小à mesure qu’on s’接近边缘。在框架中更多géné在Langlands程序中,镶嵌将填充三维球或具有更大尺寸的空间。

庞加莱碟

Le disque de Poincaré, modèle de géométrie hyperbolique, qui a inspiré nombre d’œuvres de l’artiste M. C. Escher. On y trouve des symétries liées à certaines 形成s automorphes.

©Gjacquenot / CC BY-SA 3.0

这些deux types d’objets mathématiques (les équations 双啡烷s 和 les 形成s automorphes) ont des « saveurs » complètement diffé年金。他们似乎très diffé年金。然而在 xxsiècle, les mathé数学家开始é à dé涵盖他们之间的深层关系,ébut des anné1970年,Robert Langlands,来自’institut d’études avancées de Princeton, a émis l’hypothèse que les éDiophantine方程和自守形式ont intimement liées d’une façon très spécifique.

更多公关écisément, 对于 chaque équation diophantienne comme 对于 chaque forme automorphe, il existe 一种façon naturelle d’engendrer 一种suite infinie de nombres. Et la correspondance de Langlands suggère que 每courbe elliptique possède la mê我数字序列字符éristique qu’une 和 一种seule 形成 automorphe.

Pour 一种équation 双啡烷, on construit cette suite en comptant le nombre de solutions entières de l’é在某些系统中的方程èmes arithmétiques dits « modulaires », comparables à 一种horloge (par exemple, dans 一种horloge habituelle de 12 heures, 10 + 4 = 2).

Pour le type de 形成s automorphes qui apparaissent dans la correspondance de Langlands, il 东aussi possible de calculer 一种liste infinie de nombres caracté特征。这些类似于’énergie d’un système quantique.

罗伯特·兰兰兹猜想é那,如果我们不考虑ère表示有限字段(质数为d的时钟’小时),两个系列中的数字在éventail é令人惊讶的情况如此。在d’autres termes, étant donné自守形式,其水平’é能量对应à la suite de solutions d’une équation 双啡烷, 和 vice versa. Il y aurait donc 一种correspondance entre ces 他们之中 types d’objets 对于tant très différents.

Ce lien 东« plus étrange que la télépathie »,马修·埃默顿(Matthew Emerton)评论。« 这两个方面如何éloignés peuvent-ils communiquer entre eux ?对我来说,它仍然不可思议,étonnant, même si je l’étudie depuis 更多de vingt ans. »

罗伯特·兰兰兹

罗伯特·兰兰兹

©IAS

在安ées 1950 和  1960, les mathématiciens avaient déjà dévoilé l’esquisse de ce 桥 dans 一种direction :如何从某些自守形式传递à具有有理系数的椭圆曲线(数字是整数的比率)。然后,在安é在1990年,安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles)以及他的博士生理查德·泰勒(Richard Taylor)的贡献,现在à l’université斯坦福大学 Direction opposée 对于 一种certaine famille de courbes elliptiques. Ils ont ainsi établi 一种correspondance entre ces objets dans des cas assez restreints. 但 ce résultat é足够dé显示最后一个éorè我来自费马确实,d’autres mathé数学家已经表明é在此之前,如果最后一个éorème de Fermat é是错的,那么必须有 au moins 一种courbe elliptique qui n’没有相应的自构形状。

最后一个éorème de Fermat 东loin d’être la seule découverte qui ait émergé de la construction de ce 桥. Par exemple, en 2011, 理查德·泰勒, Michael Harris, de l’université巴黎-狄德罗和他们的同事ègues l’ont utilisé 对于 prouver 佐藤泰特猜想, 一个问题è我几岁 écennies sur Distribution statistique du nombre 解决方案es courbes elliptiques dans les corps finis. Autre exemple, Démonstration d’une conjecture à关于d级’é自纯形式的能量来自数学工作ématicien indien du début du xxe siè关键Srinivasa Ramanujan。

四月è出版的作品’Andrew Wiles 和 理查德·泰勒, 他是emblait clair que cette mé椭圆曲线与自构形状的对应方法 pouvait encore être trè肥沃的。很快,克里斯托夫·布劳伊(Christophe Breuil)从’université巴黎南部,理查德·泰勒和他们的同事ègues ont trouvé le moyen de généraliser Démonstration à所有椭圆曲线à有理系数。 2013年,来自’université英国沃里克等人。ègues, ont découvert 如何包含具有简单无理系数的椭圆曲线,例如3 + √2.

另一方面,数学ématiciens n’avaient alors pas réussi à étendre la mé具有复数系数的椭圆曲线的Taylor-Wiles方法 i (平方根ée de – 1), 3 + i ou √2i. Ils ne savaient pas non 更多traiter les é丢番图方程de degré beaucoup 更多élevé比椭圆曲线的équations de degré 4 se traitent é也没有困难é avec la mé泰勒-威尔斯法,但dès que le degré atteint 5, cette mé雷声不再有效。

数学é机械师已逐渐使 考虑到对于Langlands对应关系的这两个自然扩展,不是’不只是要寻找一点调整à la mé泰勒·威尔斯大放异彩。相反,似乎存在根本障碍。« Ces é步骤是您会想到的é你想直接进攻 »,强调了Toby Gee,« 但是我们会马上告诉你’elles sont désespérément hors de portée. »

问题ème 东que la mé泰勒·威尔斯·托德é结束相应的自构形状à 一种é通过d的逐次逼近来求丢番图方程 ’autres 形成s automorphes. 但 dans les situations oùl的系数’é丢番图方程包含复数或当度é 东égal ou SUPérieur à 5,自守形式变成extrêmement rares –如此罕见,以至于给定的自同构形式ée, 他没有’existera en général没有类似的自构形式可用à des fins d’approximation.

作为工作的一部分’受欢迎的自守形式安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles)ée est « 像大海捞针一样,但大海捞针存在 »马修·埃默顿说。« Et c’几乎就像大海捞针était composée de limaille de fer : quand on approche 磁铁,所有文件’对准指向’aiguille recherchée. » 但 lorsqu’il s’是复数系数或度数és 更多élevés, « c’est comme si l’针独自漂浮在空隙中。 »

去月球

许多年轻人é数字的Oricians是intéressés aux mathématiques à l’époque de la 证明d’Andrew Wiles. « C’est le seul résultat mathématique que j’从来没有见过它ère page d’un journal »记得13岁的托比·吉(Toby Gee)à l’époque. « 对于许多人来说’似乎令人兴奋,’他们想了解,他们最终在这个领域工作à cause de cela. »

所以什么时候’en 2012, 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari),de l’université现在来自芝加哥,现在来自David Geraghty’Facebook的回族研究员é 一种克服的方法’obstacle à l’extension 的é泰勒·威尔斯(Taylor-Wiles)ée a suscité l’新g的热情énération de thé数字公演。

他们的工作表明é que « 这种基本障碍à l’extension n’en 东pas vraiment une », explique 托比吉. Les limites apparentes 的é泰勒-威尔斯之声来自事实« qu’il ne s’agit que de l’ombre d’une méthode 更多géné罗蕾(Caleari and Geraghty)介绍。 »

在这种情况下ù l’发生梗阻,自构形式’更多地应用于尺寸铺路élevé是二维拼贴« à la Escher » étudié由Andrew Wiles撰写。在这些三维世界中 plus élevée,自守形式是très rares. 但 le bon côté事情是维的平铺 supérieure ont souvent 一种structure beaucoup 更多riche que les pavages à二维。弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)和大卫·格拉格蒂(David Geraghty)’idée d’利用这种结构的丰富性来弥补自构形式的不足。

更多公关écisément, 对于 每forme automorphe, on peut utiliser son « coloriage »作为一种铺路’测量工具来计算« couleur moyenne » sur n’importe quelle ré铺路的园。在二维上下文中,自守形式是 les seuls outils de mesure de ce type disponibles. 但 对于 les pavages en dimension SUPé更高,出现了新的测量工具,名为és « classes de torsion », qui attribuent à 每région du pavage non pas 一种中等颜色 mais un nombre issu d’un corps fini. 这些扭力类 sont très nombreuses.

对于一些éDiophantine方程,关于ées par 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari) 和 David Geraghty, 他是erait possible de trouver la 形成 automorphe correspondante en l’不与d近似’autres 形成s automorphes mais avec des 扭力类. « La perspicacité dont ils ont fait 证明东fantastique »,Ana Caraiani评论。

弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)和戴维·格拉格蒂(David Geraghty)提供了计划,在éDiophantine方程和自守形式比bâti由Andrew Wiles和Richard Taylor撰写。他们的身份证ée était loin d’être complète. Pour qu’elle fonctionne, les mathématiciens devaient d’首先证明三个主要猜想。根据Frank Calegari,’était « 好像我与David Geraghty的文章解释了我们如何到达月球– à条件某人’大惊小怪ée,制造燃料并制造宇航服 »。这三个猜想« étaient complè绝对不在我们的港口ée », concède 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari).

特别是éCalegari和Geraghty的方法要求’il existe déjà un 桥 allant dans l’从自构形式到équations 双啡烷s. 和ce 桥 devait transporter non seulement des 形成s automorphes mais aussi des 扭力类. « 我想很多人都认为’était 一种idée 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)和大卫·格拉格蒂(David Geraghty)ésenté他们的程序第一次ère fois », dé克莱尔·泰勒(Richard Taylor)。

少一点’un an aprè的出版’Frank Calegari和David Geraghty的文章, 彼得·斯科尔兹,de l’université de Bonn (谁赢了é la médaille Fields, la 更多haute distinction en mathématiques), 在étonné les théoriciens des nombres en trouvant comment passer des 扭力类 aux équations 双啡烷s dans le cas de courbes elliptiques dont les coefficients 是des nombres complexes simples tels que 3 + 2i ou 4 – √5i. « 彼得·舒尔茨(Peter Scholze)éressantes, mais c’est peut-être sa réalisation la 更多passionnante »,Richard Taylor评论。

彼得·斯科尔兹

彼得·斯科尔兹

©Volker Lannert /波恩大学

彼得·斯科尔兹 证明é la premiè关于三个猜想的nécessaires au plan de 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)和大卫·格拉格蒂(David Geraghty)。而在 他们之中 其他 文章,Peter Scholze和Ana Caraiani越来越近és d’une 证明de Deuxiè猜猜我,其中包括à montrer que le 桥 de 彼得·斯科尔兹 a les propriétés adéquates.

这些avancées ont donné l’该程序的印象était maintenant à portée de main. Alors, à l’为了尝试进一步的发展,Ana Caraiani和Richard Taylor在2016年秋季é弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)的名字é un 作坊« secret » à l’Institut d’études avancées, à Princeton. « Nous avons réquisitionné la salle de conférences – personne d’autre n’était autorisé à entrer », raconte 弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari). 四月ès plusieurs jours d’exposés,参与者’atelier ont commencé à了解如何达到第二è猜猜我绕过第三个ème.

参加者已通过é剩下的时间à élaborer divers aspects de Dé示范,两年来é接下来,他们聚集了é他们的结论 文章标志é par dix auteurs – un nombre d’作者很少接触到这篇文章é数字的奥利。他们的文章établit le 桥 de Langlands 对于 les courbes elliptiques avec des coefficients aussi bien rationnels qu’非理性和复杂。« L’objectif [de l’atelier] é只是为了抬头’où我们可以去证明事情 »,回忆托比·吉。« 我想没人’attendait vraiment à prouver ce résultat. »

Prolonger le 桥

同时,一次平行冒险èle se dé试图将桥梁延伸到à de la ré椭圆曲线。坦率的Calegari和Toby Geeé现在与George Boxer合作à l’École normale SUPé里昂,以s为准’attaquer au cas où le degré de l’é丢丢丁方程是 5 ou 6(而不是3或4)éjà connus). 但 les trois mathématiciens sont restés bloqué是他们项目的重要部分。然后,下一个周末’« atelier 秘密 », 文森特·皮罗尼(Vincent Pilloni),de l’École normale SUPérieure, a publié 一篇文章 他展示了如何解决这一障碍。« Nous nous sommes immé约会说我们必须到达ê我们在做什么以及与Vincent Pilloni合作的需要 »,回忆弗兰克·卡莱加里(Frank Calegari)。

再过几周,四个数学ématiciens ont résolu le problème, bien qu’他们花了两年时间,公关ès为三百页étiser leurs idées. 他们的文章 和 celui des 十位作者有 été mis en ligne fin décembre 2018, à quatre jours d’intervalle. « Ces 他们之中 papiers 是d’根本重要性 »,指出Matthew Emerton。« 他们在技术上à我们知识的最前沿。 »

尽管这两篇文章证明了神秘之处é笑之间的对应éDiophantine方程和自守形式’applique à des contextes 更多é时态,但是有细微差别 :它们并没有在两家银行之间架起一座完美的桥梁。相反,这两篇文章établissent 一种« 潜在自同构 », 意思就是 chaque é丢番图方程è对应的自构形状,但是什么也没有’确保自守形式在r中égion où 我们’attend à la trouver. 但 cette 潜在自同构 suffit 对于 de nombreuses applications –例如,Sato-Tate猜想关于é有限域上的Diophantine方程 dix auteurs ont réussi à在更大的范围内证明énéral qu’auparavant.

数学ématiciens 是déjà en train d’améliorer ces résultats limité处理潜在的同构关系。在十月 2019, par exemple, 帕特里克·艾伦,de l’université de l’Illinois, à Urbana-Champaign, Chandrashekhar Khare,de l’université de Californie à Los Angeles, 和 杰克·索恩,de l’université来自剑桥,已经证明é que 对于 一种proportion importante des courbes elliptiques étudiées dans l’十位作者的文章,对应 arrive 完全在正确的位置。

Des 桥s avec 这个niveau de précision 更多élevé会允许数学é专家证明’autres théorèmes, y compris 一种géné最后的成就éorème de Fermat proposée il y a 更多d’un siècle. Cette conjecture 建议ère que l’équation xn + yn = zn 从n继续’当x,y和z不仅是整数而且是整数和虚数的组合时,没有解 i.

这两篇文章使我们有可能éaliser le programme de Calegari-Geraghty constituent 一种importante 证明de concept, souligne Michael Harris. Ils sont « la démonstration que la méthode a 一种grande portée. »

作品écents ont relié des régions bien 更多grandes qu’以前在两大洲é在Langlands程序上。不é但是,他们仍然留有广阔的领土尚未开发。és. Du côté des é丢番图方程équations de degré SUPérieur à 6, ainsi que les équations avec 更多de 他们之中 variables. De l’autre côté,存在于具有符号空间中的自守形式étries 更多complexes que celles qui ont été étudiées jusqu’à présent.

« Ces 文章, à l’目前,以某种方式éussite », dé克莱尔马修·埃默顿(Matthew Emerton)。« Mais 有一天,他们只会被认为éré这是Langlands计划迈出的又一步。 »罗伯特·朗兰兹本人ême n’a jamais envisagé扭力类何时’il a pensé具有自守形式d之一éfis 数学é因此,医师们将找到统一的愿景ée de ces différents chemins. « 我们在某种程度上还剩下é le chemin tracé罗伯特·兰兰兹(Robert Langlands)撰写,我们真的不知道ù nous allons »,理查德·泰勒(Richard Taylor)总结道。

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