数学

您知道如何在八个维度上堆叠橘子吗?

1998年,在普通的3维空间中解决了球体最佳堆叠的问题。它刚刚找到了8维和24维的解决方案!

肖恩·拜利

一些最复杂的数学问题是受到非常具体的日常问题启发的。例如,堆叠相同的球体并保留尽可能少的空隙的最佳方法是什么?约翰内斯·开普勒(Johannes Kepler)使这个问题出名,他在1611年推测,最密集的配置是果蔬商人摊位上使用的金字塔结构。 开普勒的猜想直到1998年才得到证明 由当时在匹兹堡大学(University of Pittsburgh)的托马斯·海尔斯(Thomas Hales)撰写,并进行了长达250页的演示,并进行了重要的计算机辅助计算。

虽然很容易可视化三个维度上的一堆橙子,但当我们尝试在一个4维或更多维的世界中想象相同的问题时,却大不相同。然而,在多维空间中球体的堆叠问题很重要,因为它与纠错码密切相关,纠错码在电信中用于在传输过程中重建不可避免地改变的信号。刚刚在该领域获得了一个有趣的结果:柏林洪堡大学的Maryna Viazovska在数位同事的帮助下,解决了8维和24维案例。

对于数学家来说,处理四个或更多个维度的橙子没有障碍。它归结为一个球体的正式定义:它是空间中的点集-具有我们想要的任意数量的尺寸-位于距特定点给定距离(即点的中心)的位置领域。相反,增加尺寸会使开普勒问题更难以解决,因为这会增加要检查的球体的排列数量。

一种构造堆叠的方法是从二维六边形排列开始。通过堆叠平坦的层,使球体位于下面的层的孔中,可以获得水果展示的“自然”排列,这在三个维度上都是最佳的。为了建立四个维度的堆栈,我们以相同的方式进行三个维度的堆栈排列。等等。到达维度8,我们得到一个由记为E的对称组数学描述的网络。8。这种堆叠具有呈现大量对称性的优点,这使得它更易于研究。 E组8 数学家众所周知(这是最大的“特殊类型的复杂李群”),但对于有时在粒子物理学的大统一理论框架内对其进行研究的物理学家也是如此。

如果我们将程序继续进行到24维,则将获得水ch格子。这种结构是由约翰·里奇(John Leech)于1965年发现的,还具有许多对称性(描述对称结构的对称组是约翰·康威(John Conway)于1968年发现的所谓的“零星”组之一)。 Leech的网络与Golay的校正码相关联,该校正码用于处理探测器的图像 旅行 是在1979年至1981年之间飞越木星和土星时拍摄的。

但是E8 Leech网络是8维和24维空间中最密集的堆栈吗? 2003年,美国剑桥大学的数学家亨利·科恩(Henry Cohn)和诺姆·埃尔基斯(Noam Elkies)表明,可以定义所谓的辅助函数,该函数估计任何尺寸的任何空间的最大堆积密度。在大多数情况下,最知名的堆栈与辅助函数计算出的极限值相差甚远。但是在8和24维上,由E定义的堆栈8 水the晶格与已知的最大密度的最低估计值非常接近,在10以内–30 近。为了确保这些堆栈是最佳的,有必要找到正确的辅助函数,该函数将给出与E的密度完全对应的极限值8 和水ch网络

玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)找到了她擅长的模块化形式的钥匙。模块化形式是抽象的数学对象,具有特定的对称性,在许多数学领域中都使用过。例如,在1994年安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles)提出的费马大定理的证明中,它们发挥了关键作用。

2016年3月14日,玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)在网上发表的一篇文章中宣布,由于模块化形式,她找到了合适的辅助功能,这证实了E8 是堆叠八维球体的最佳方法。当天晚上,她收到了亨利·科恩(Henry Cohn)的一封电子邮件,建议将其方法应用于Leech的24维案子光栅。一周后,他们与其他三名研究人员一起证实,水ch晶格是堆叠24维球体的最佳方法。

该结果对于校正码没有任何改变。确实,E8 和Leech的网络已经在使用中(按照Golay的代码),即使它们不是最佳的,它们也会非常接近。尽管如此,玛丽娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)的结果证实了研究人员的直觉,并突出了模块化形式的力量。

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