数学

证明,一切都很好

数学活动不会减少到正式逻辑。图纸,小电影,观察计划,身体互动等,是有机会将示范视为严格,因为仔细写作正式证据。

Jean-Paul Delahaye 对于Science N°414
本文保留用于科学用户

“证据瘫痪了演示。 »

Pierre Reverdy(1889-1960)

数学做了什么?自从欧遗物以来,我们认为数学从示威活动开始。这肯定是真的,但我们一定要知道一个示范是什么吗?

技术的演变为许多新的轨道开辟了许多新轨道,这是由象征主义引起的逻辑人员和哲学家的逻辑学家和哲学家的被保险人员肯定解决了这个问题。对于法国MathematicianRenéthom(1923-2002),“严格的任何示范都是严格的,在任何读者中,任何读者都充分受过教育和准备,引起了需要会员资格的证据状态。这种开放式设计毫无疑问,许多数学家共享,将作为基准和指导。

让我们首先记住现代逻辑家如何设想证据的概念。它们的方法,合格为形式主义,在几个阶段进行:

- 修复了一个完全精确的语言,用于写入名为Formulas。

选择某些特定陈述被认为是所获取的公理。

- 我们为自己提供象征性操纵的规则,以通过声明传递声明。

然后它被称为演示(正式)任何陈述序列,每个序列都是合理的,因为它是一个公理,或者因为它来自已经获得的陈述的授权操作。

一切都是正式的制度。它被构思为算术,几何,集合理论和所有可能的数学域。这些合奏理论的理论包括所有其他人,至少在理论上允许用单一语言表达任何数学工作,具有独特的演示概念(参见正式系统的简化示例的框1)。

在考虑使用时,这种程序的方式很有趣

计算机找到演示或验证数学家发现的演示。对于此验证,您必须小心翼翼地正式确定所做的证据......在计算机的帮助下(参见本节的现实,2011年4月)。然而,证据的形式化是非常有约束力的,只被视为我们只使用的最终可能性。严谨的Thom证据的概念没有提到象征性的形式主义,似乎准备接受许多其他想法。

正式的方法在教授的教学方面也是灾难性的,从而教授学生的计算食谱,他们并不总是理解......或者几乎从不。 Nicolas Bourbaki被认为是形式主义者的原型,明确说,理解不包括在下面的行正式示范:“任何数学家都知道,只要它被限制在棋谱中,就没有真正”被理解“裁员矫正,而不尝试清楚地设想导致建造这一扣除扣除的想法。 »

如果你真的想掌握数学是什么,就是因为Thom,以宽容的方式构思演示。这在教学中尤为重要,这就是为什么对导致那些刚刚召回的形式主义框架的人的成员来说,这是一个人的合法才能对我们刚刚召回的形式主义框架的表现。这是一个杂交数学演示方法的列表,它将很有趣,练习甚至是明智地在课堂上使用以创建会员资格,甚至是......学生的兴趣。

通过计算证明

根据形式的设计,提出乘法不是证据。如果有必要在元素算术系统的正式系统上,比17 3 19 = 323 = 323,则演示将占据几十条线,并没有任何东西。翻译进入正式的算术系统的构成操作:

我们是如此乏味,不必要,我们从来没有这样做。通过控制每个数量操作的验证很容易并提供确定性。最后,在THOM的意义上,占据所构成的计算被认为是一个示范。

控制这些演示的方法非常简单,只需要一点护理和耐心(或机器),文本中的数学家将满足于写入17 3 19 = 323,使勇敢的读者进行计算练习。即使没有给出详细信息,他也会写入323不是第一个数字(对读者发现17 3 19 = 323),或者有25个印刷数字小于100和168小于1000。

这种做法的计算工具已经普遍存在。在当今的数学文本中,我们将写“序列123在1924年首次出现e 小数的p“(这是真的!)没有解释更多的东西。这个想法是,验证这种结果,然而不可能通过手来领导,是显而易见的,因为希望它能够承担一个小型编程工作,其结果将说服他没有疑问的阴影。声明的准确性。纯粹计算的证据导致您,作为Thom写道,即即使该过程长,繁琐,也依赖于多种艾滋病,包括复杂机器,产生几十年的技术变革,需要数十亿欧元投资。

在本节中已经提到了几次,“没有言语的证据”只由装饰有一些符号的设计组成。这个想法是

仔细观察图像导致“读者足够受过教育和准备”的“证据状态”,其关于规定的陈述。此类演示(参见框3)是对于数学家之后的数学家,完全可接受的证据表明没有缺失。

没有言语演示

请注意,没有单词的证据,例如通过纯计算的证据,可转换为正式证据,但工作比纯计算更少的机械。最常见的是,这种翻译不会带来很多,并且相反,将减少“证据状态”,证明没有言语创造。对于数学家开放心态,没有言语的美丽证据是比正式证据更好的证据。

请注意,没有单词清楚地展示关于无限远的结果。这就是证明国际象棋游戏骑士可以浏览无限棋盘的所有框(下面)。

然而,拓扑的证据构成了严重问题:在几何形状中,当觉得数学是基于事物的直观证据时,伊曼纽尔·康德错了。乔丹的定理将说明这一点:它指出“任何简单的曲线关闭C(不重叠并返回到其起点)在两个区域(例如曲线)中的平面中界定,这在一个点连接第一区域的一个点第二,必然削减C“。

这足以制作一点绘图来展示约旦的定理吗?承认这很困难,因为基于实际数字的属性的证据都没有证据(必要定义计划和曲线)很简单。我们还考虑到这一直观明显定理的令人满意的证据,只有在1887年就已经制定了它,并且必须在1924年安排它,以便完整。 jordan定理证明的完全正式写作(在谈论真实数字的系统中)被认为是计算机壮举,仅在2007年通过托马斯·哈尔斯使用软件系统获得 !

在小绘图和详细证据之间认为真正充足的这种扭曲的原因是,这位可能有这段时间的形式主义者,不能满足于说曲线是一个我们在没有抬起铅笔的情况下抽取的情节。在使用连续函数的概念给出曲线的精确定义后,它必须引用它......这并不容易。谈到拓扑或连续性时,即使没有小写的单词的证据是可能的,也很有说服力,它将进一步(并将空间的概括到两个以上的空间)也有意义的是,即表示有趣的证据向分析到分析的几何形状,无论成本如何。

通过观察电影来说服自己

非常接近没有言语的证据,通过观察动画电影存在证据。看着精心设计的动画数字,我们确信一个数学真理(例如毕达戈尔定理)。始终使用这种类型的证据,由汤姆阿奥斯托尔创建的一系列显着电影,并通过Eliane Stower适应法语,可免费进入: http://itunes.apple.com/itunes-u/mathematics-!/id420345770

总是在同一条线上,小程序在您的计算机上运行,​​并为您提供完全令人信服的动画演示(参见 http://clem.mscd.edu/~talmanl/MathAnim.html 用于收集此类动画)。

心理证据

与没有言语的证据相比,有没有绘制或数学象征主义的证据,这可以被描述为心理。在和朋友一起散步时,你会告诉她......即使在半夜。只要他小心谨慎,倾听你,你的朋友会理解,并将在你说服的新数学结果的陈述结束时。最近,英国数学家Adam Goucher已经提出了精神和几何证据(它不兼容!)威尔逊的定理。本定理给出了作为划分的n个数字的素数的表征(p - 1)! + 1(见图5)。我为下一个山区游览推荐这种证明。它会让您感觉到,比通常的算法知识的常规证据更好,定理是真的:总之,它将让您访问这种深度信念的状态,这构成了真正的数学理解。由于他们的口头性质,心理证据通常很容易转化为正式的证据。

通过移动他的身体证明

我们所做的动作和行为是这样做的,是说服真理的好方法。这种身体参与示范过程有时是到达关于数学陈述的贴心确定性最有效的方法。

三个亨利大丁房屋的问题的例子,必须具有水,天然气和电力,说明了这种情况(见下文)。它对应于定理肯定图K3,3(其中三个点A,B和C各自加入其他点D,E和 f)不是平面的,也就是说不能在平面上绘制,而没有切割的连接图。任何一个尝试十分钟来解决纸张,铅笔和牙龈的死亡问题的人都达到了K3,3的绝对确定性的这种状态。

这些动作为自我构建了私人信念,但演示必须传播。因此,我们无法考虑通过操纵获得的确定性值得证明。幸运的是,K3,3的声明并不是平面的通常意义上的演示......虽然使用Jordan的定理或多或少地直接,因此精致正式化。

物理学家的示威

我们的本能或学习物理知识使我们成为某些陈述纯粹的数学。通过物理推理的数学陈述的这些证据几乎不能被视为真正的数学证据,我们不知道Thom会说什么。然而,他们令人着迷,毫无疑问,他们的确定性呈现出真正的数学证据。 2010年2月展示了

Mark Levi的书专门用于受试者的书给出了一系列示例(参见另一个)的示例)。这些证据是对数学家分析的微妙,因为证据是基于通常在数学中不允许的法律或物理考虑。此外,如果物理法律不是真的(物理法从未明确表现出来),则可能是我们从纯粹数学推断出的假。对这些证据的深入分析可能会发现它们是可疑的,通过避免在工作中的身体假设。问题并不是很简单,似乎有一个很好的逻辑研究主题,我的知识尚未得到治疗。

简单地观察在屏幕上显示图像的程序有时是证据,导致完美的粘附性。那些反思数学和示威性质的人很少提及这种类型的证据。然而,他们在那里扮演中央,完全不可替代的角色,并且没有人对它产生的数学陈述有任何疑问。

考虑以下陈述:有10个细胞的Conway Life游戏的配置,创建细胞数量趋于无穷大的配置。

遵守程序的进度

这是一个非常简单的数学陈述。只有表明,1997年由Paul Callahan,在比赛的发明内30年。他的示威是什么?在呈现十个单元格(查找)的配置中,随后观察1,000几代成为配置。这1000代不能用手计算,与其相当足够,它们涉及大量的细胞。从生成1000时,计算具有规律性:一部分配置在另一部分前进,留下越来越多的活细胞并形成周期性的模式。

这种持续的信念是总额。实际上,一方面,该程序已经过大量次,并且它没有疑问它可以计算有必要的方式(我们还可以使用另一个程序工作十个电池的初始配置);另一方面,我们观察到的规律性不会对增长将无限期持续的想法毫无疑问。这是持续运营的方案的观察,这会产生这种证据状态,这导致Thom发言的成员资格,其特征是严格的证据。

对生活游戏和许多其他蜂窝自动机的研究导致练习这种类型的示威性,基本上是一个。有定理,其中一些是如此不成本,只有在几十年的研究后才发现。这些是某种杂交证据,可以转化为非常长的正式证据(因为上下文是谨慎的并且减少到算术),但没有人感到任何必要。这些是这种数学域需求的证据,并且没有其他类型的证据将更好地理解,有十种细胞的配置无限期地生长。

枚举的另一示范(当然,当然进行的计算机)已经确定没有配置九个细胞或更少的配置,无限地增长:P. Callahan的十个电池配置是这种属性的最小可能。

结果引用的结果会出现一个小轶事,但情况并非总是如此。 John Von Neumann的最佳证明是在遗传方案中运营的自我生产配置(参见本文2012年1月的文章)是本质。在这种情况下,必须给予演示的深度定罪来自仔细阅读von neumann的文本(这是一项巨大努力),要么从经营其着名配置的程序所做的计算,那么当然,我们当然会确保他做了我们等待的东西,没有别的。通过观察程序的运作可以在数学的未来发挥重要作用的证据。

将计算委托给计算机

我们不会坚持通过使用计算机计算(未直接观察到的计算机)获得的证据。几十年来,他们的使用缓慢延伸,现在欠了重要定理。让我们注意一个非常好的最近的例子。今年1月,经过五年多的工作,已经证明了Sudoku的基本定理:Sudoku 9 3 9网格必须有17个预注册或更多的单一解决方案的数字。

从都柏林大学学院的作者加里·麦格尔向我报告了该结果,他为他的巨大计算提供了巨大的计算,并从巴斯蒂安·德国曼和吉尔斯的Civario帮助了。请注意,几乎没有时间,该计算被认为是可信的,并且只能采取它,因为它以前通过使用某些组合工具的数学研究简化了,包括烧伤的引理。

直接数学尝试(没有计算机)对待问题成功地表现出很容易需要七种数据,但现在不再进一步进一步。我们远非17距离电脑有17台,它完全出现在机器不辅助的纯粹推理中。计算机证明需要计算相当于超过700万小时(约800年)的良好桌面处理器。对该计划的检查,它是基于的数学结果,控制确保一切都发生得很好,并且它产生的结果构成了一系列可传导数据,必须被视为严谨的证据。

viderodox示范名单仍然包含其他类别,我简要介绍了没有给出的例子:相反,他们鼓励自由和公开的数学活动愿景。

- 没有知识转移的证据。通过与持有证据的人进行对话,您将被说服数学肯定是对的,但您不学习证明,您仍然无法说服别人(参见2011年1月的本条文章)。

- 概率证据:即使证明结果,仍然存在概率(这将尝试尽可能小),以便证明结果是假的。

- 全息证据(或 PCP.):检查证明(具有非常低的错误风险)只需要一小块证明。

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