数学

Peut-on vraiment appeler 法国 « l'Hexagone » ?

Quel 东 le polygone régulier qui représente le mieux la carte de 法国 mé大都市和大陆 ?简单计算d’optimisation répondent à问题并显示昵称d’« Hexagone » 东 plutôt usurpé.

K.ZIMMERMANN,F.RODOLPHE,T.ZHARINOVA-ZIMMERMANN和J.POTHIER 对于科学N°498
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意大利人经常为自己的祖国命名« la Péninsule », qualificatif gé无可争议的地域。 mé意大利dias也使用l’expression « la Botte » (斯蒂瓦尔)é当他们的国家签字’ils parlent d’économie ou de météorologie, 和 c’est souvent ainsi qu’en 弗兰ce on dénomme l’意大利。在地图上gé图像上的,类似’Italie avec une botte 东 en effet frappante.

法国,她,重新ç省略理由不多的名称évidente. « L’Hexagone » 东 l’antonomase utilisée trè在这个国家通常是désigner 法国 mé大陆都市人。在书名,广告中都可以找到é, 和 c. D’在其他地方,本文的标题是借来的à政治家小férus de rigueur géomé捏现在我们问é à des collègues 和 amis étrangers « innocents »(那些不知道法国应该être un hexagone !) à他们认为该国的地图是什么样的?更多’un quart des réponses (27 %) ont évoqué une étoile à五分支或五边形,8%八角形或正方形é,但大多数éponses (« une peau tannée », « un fantôme », « une tête de chien »...)对应更多à des ré罗夏测验效用é由心理学家’à l’évocation d’une figure géométrique simple 和 élé手套。最重要的是,没有人’a évoqué d’hexagone, régulier ou non.

六角神话

神话’hexagone françAIS有几种解释。如果有些克éographes ont préféré五边形,如éophile-Sébastien Lavallé第二帝国时期的e和特鲁伊时期的伊曼纽尔·德·马丁内ème Ré公共或八边形,例如Élisée Reclus à la fin du ixe siècle, l’hexagone semble l’avoir emporté parce qu’它更明确地包含在’Alsace 和 la Moselle !

有些理由é谈到这个选择« six points saillants »。毫无疑问,平面的六个点或多或少地选择了六边形é更加古怪,但这不是非常有用 : si l’on choisissait huit points, 法国 好像rait à un octogone, 和 plus on choisit de points sur le contour de 法国, mieux ils représenteront 法国 和 ils formeront toujours 一个多边形.

这样的问题ème de l’approximation de 法国 par 图géomé简单杆要么inté但是,它必须受到约束,例如,将自己限制为多边形réguliers (polygones à côtés 和 angles égaux). L’argument affirmant que 法国 « s’inscrit dans un 六角régulier » n’a pas de sens : 法国, comme n’importe quel objet d’étendue finie, peut s’inscrire dans n’任何数字géomé酒吧,三角形,正方形é,圆...只要这个数字足够大。

Plusieurs questions se posent alors. Si 法国 devait 好像r à 一个多边形 régulier,大小是多少,方向如何é(其相对的倾向是什么à l’axe nord-sud) ? Où将是多边形的中心 ? L’hexagone 东-il le polygone régulier auquel 法国 好像 le plus ?最后,如何理解这个词« ressemble » ?在这里,我们将尝试épondre à所有这些问题。

不用说,推理必须基于边缘的形状(海岸和边界)。ères) de 法国 continentale, 和 pas seulement sur quelques points choisis. Mais qu’est-ce que « la 弗兰ce » ?法国是一块土地,这是偶然的é并且不适合放在飞机上。吸收这个国家à 图géomé任何扁杆,都必须经过ésentation plane, c’est-à-用卡片或至少卡片上的卡片说,数量érisée.

在...前面’impossibilité d’obtenir des données exploitables de l’IGN (l’国立g学院é摄影),我们买了é米其林卢迪地图ère 和 touristique de 法国 datée de 2017 (é比例1:1,000,000),我们’avons fait numé冒口。我们注意到,使用摄影修饰软件(可以完成许多操作)é, point 后ès point, Coordonnées () du bord de 法国 continentale (sans les îles côtières).

因此,我们获得了5,250个空间点。és de 1,2 ± 0,9 kilomè是。它们的空间较小és在布列塔尼,其côte 东 très découpée, qu’en Normandie où la côte通常是直的。用一麻木érisation à每英寸300针,并考虑到’é地图上线条的粗细,我们可以估算出ées des points ont été obtenues avec la précision de 1 pixel, c’est-à-dire de 90 mè非常近似。通过这种方式çon, nous avons représenté « la 弗兰ce » par 一个多边形 irré具有5,250个顶点的谷状。

Pour tester si 法国 好像 à 图géomé任何棍子,我们可以é用纸板将其切下,并以这种方式叠加在国家地图上çon que l’une dé尽可能少的边界’autre. Une figure trop grande couvrirait bien 法国, mais elle-même déborderait trop ; tandis qu’数字太小不会éborderait pas, mais ne recouvrirait pas une grande partie de 法国.

最小化’aire totale des débordements

我们可以考虑érer当d的面积之和获得最佳覆盖率ébordements (ceux du polygone 和 ceux de 法国) 东 la plus petite possible. Trouver, dans une famille donnée de figures géomé三角形(六边形ré例如guliers)’aire des dé边界是个问题ème d’optimisation.

多边形régulier d’« ordre » donné (c’est-à-说有给定的数字é de côtés) 东 dé完成了四个参数è非常。例如,我们可以选择 L, X, Y, α où L在那儿a taille du polygone, XY 是坐标ées de son centre 和 α 东 l’angle qui dé写它的方向。问题ème consistant à找到四个参数的值è使多边形最优的许多方法都很简单。但它可以庇护èges,尤其是l’可能存在局部极小值。在我们的情况下,局部最小值à 一个多边形 régulier de l’ordre considéré, tel que tout lé管理参数变更ètres(方向,大小,位置)增加d面积的总和ébordements, alors qu’还有一个m的多边形ême 订购, de paramè坦白说比较é年金,这提供了更好的契合度。

在实践中,我们可以é有效地终止这些参数ètres (L, X, Y, α) par une méthode d’optimisation numérique, implémentée随时可用的软件中。 l的选择’aire des dé边沿书写ère d’优化使mé相对健壮的方法à-vis de la densité des points choisis sur le bord de 法国 (pourvu qu’足够dé正确填写其形式)以及précision des coordonnées (x, y)个人要点。

公关前ésenter les ré这些计算的结果’优化,让我们指出另一个élément intéressant. Puisque l’on a représenté法国的irr多边形égulier de 5 250 côtés,我们还可以计算其重心。它的’是法国的重心,被视为平坦的表面,c’est-à-说重心é d’un carton de densité 和 d’épaisseur uniformes découpé跟随法国的边缘。几个地方és revendiquent déjà法国中心的标题。大号’IGN ne précise pas sa méthode pour dé完成这一点,其他的é方法(例如,使用圆形或四边形è最小外接圆或最大内切圆)不是trè令人信服。多边形d的重心的计算é今天完成了5,250点’hui facile à用电脑做坐标ées de ces sommets.

centre 法国

的中心’hexagone optimal recouvrant 法国 东, sur cette carte, le petit 六角rouge à côté从D943路。 D4和’A71 东 le barycentre de 法国 (c’est-à-dire du polygone à大约地图g的作者选择的5,250个峰顶é国家地理)。蓝色圆圈是差异érents autres lieux qui revendiquent le titre de centre de 法国.

©mapy.cz

所有计算,包括最佳多边形和重心,都具有été programmé使用免费软件Scilab。使用的卡ée ainsi que la précision de l’optimisation numé里克允许é完成坐标ées du centre de l’hexagone optimal : 46° 29’ 49’’ N, 2° 27’ 13’’ E à 4’’ près, ce qui représente une précision de l’ordre de l’hectomètre. D’après GoogleMaps,这一点在érimè来自Saint-D市ésiré, dans le département de l’Allier (请参阅第pr页上的图écédente)。

polygone optimaux pour 法国

广场é, le pentagone 和 l’hexagone optimaux. C’est pour le carréd的面积之和ébordements de 法国 (穿蓝色衣服)和Du polygone (黄色)在那儿a plus petite. Autrement dit, un carré représente mieux 法国 qu’un hexagone.

图代表ésente l’aire des dé边界根据’多边形r的阶数(顶点数)é最佳舵手。图的最后一点对应于多边形régulier à 720 sommets, qui 东 très proche d’un cercle.

©科学

Quant au barycentre de 法国, nous avons obtenu comme position approximative Coordonnées 46° 33’ 54’’ N, 2° 28’ 58’’ E ;它在p中érimè来自维敦(Vesdun)市é雪儿的一部分。是très靠近l的重心’ensemble des centres des communes de 法国 métropolitaine, pondéré按直辖市地区划分(46° 32’ 23’’ N, 2° 25’ 49’’ E). Né但是,后者的计算已考虑到îles côtières, ce qui n’est pas notre cas.

因此,我们可以估计出l的中心位置’hexagone régulier optimal repré感觉法国大陆是éterminée à une centaine de mètres près 和 qu’il ne serait pas sérieux de la pré感到更谨慎écision. Elle résulte d’un processus numérique d’optimisation où une certaine imprécision 东 iné真正。该坐标ées gé法国其他潜在中心的地理位置’on voit 在撒谎ionné各种文件中的ésentées avec la précision de 1’’, c’est-à-dire environ 31 mè非常。但是没有什么可以保证数据ées de départ 和 surtout la méthode employée autorisent 在elle précision !

什么公关écède porte sur l’hexagone ré固执己见,但我们可以考虑’autres polygones ré可能发生的碎石ésenter 法国 : un triangle équilatéral, un carré, un pentagone ré舵手等所以我们有épété几个多边形的计算réguliers.

最佳多边形有四个角

在ré结果,例如,我们注意到é optimal déborde manifestement beaucoup moins de 法国 que celle-ci ne déborde du carré. Notre critère d’优化,最小化d面积的总和ébordements, n’实际上并不意味着d的面积é共同边界é大风。找出多边形ré使d的面积最小的沟é通过维护边界é大风,将是另一个问题ème d’优化并会导致à des résultats différents.

但是,主要结论à laquelle nos calculs conduisent 东 que si 法国 devait 好像r à 一个多边形 régulier,那是公关éférence un carré, voire, à dé需要一个五边形。大号’六角形只会来’à la troisième place, suivi d’一个八边形。这证明了一些建议é旧照片,尤其是本文的标题 : l’Hexagone 东 carré !

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