本文是一个翻译’article 计算机Sertstles 90岁的数学问题,发表é sur Quantamagazine.org. le 19 août 2020.

数学

摊铺机空间与立方体:凯勒的猜想得到解决

数学家刚刚通过利用大型计算机加固,在图形方面展示了具有相同立方体的空间铺设的猜想。

凯文哈特尼特
凯勒的猜想

一个équipe de mathé发动机刚刚放置终点à所谓的凯勒猜想,à l’aide d’une armée d’电脑。这个猜想,énoncé通过数学九十年前é德国Matician Ott-Heinrich Keller,涉及到的路面’espace avec des « briques » élé相同的导师。她说如果是’on couvre l’espace à与Carr的两个维度(计划)é■所有相同,至少两个Carrés partagent une arête complè你。猜想使même pré没有n的遗址’什么尺寸–例如,铺平了’espace de dimension 12由维度的维度 12 相同包含né至少两个共享面部(尺寸)的超机 11, en l’occurrence).

一年下来ées, les mathématiciens ont décortiqué peu à小凯勒的猜想,表明了这一点’elle é对于某些尺寸而真实,对于d而虚假’autres. Jusqu’à l’2020年秋季,猜想只在案件中仍然开放 l’espace à 7 dimensions.

但是一个新的证据,协助é通过计算机,来自régler ce dernier cas. 发表ée在线在10月份 2020,它再次显示了’ingéniosité humaine, conjuguée à计算机的计算能力,可以ré池塘与数学问题ématiques les plus épineuses.

本文的作者–Joshua Brakensiek’universitéStanford,Marijn Heule和John Mackey,来自L.’universitéCarnegie-Mellon,和David Narváez, de l’罗切斯特技术研究所,AUXÉtats-Unis – ont résolu le problè我使用四十台计算机。 APRUMè只需半小时的计算,机器给了é le résultat :是的,凯勒的猜想在维度中是真的 7.

他是’est pas nécessaire de croire à这个词汇 : la réponse est accompagnée d’une dé其准确性的详尽怪异。这个证据过于复杂和太差ê由人类理解,但它可以être validéE通过v的程序é上升单独的证据。 D.’autres termes, même si l’我们不确定计算机为r制作的内容é焊接凯勒的猜想,我们可以’assurer qu’ils l’做得恰当。

众所周知érieuse dimension 7

在两个方面,在飞机上,我们很容易理解为什么凯勒的猜想为真实。让我们纸张拿一张纸,并试图用Carr覆盖它és de mê我削减了,没有自由空间或重叠 :我们意识到très rapidement qu’on est forcé de placer deux carrés de façon qu’ils partagent une arê你。如果你有手头 一些木制立方体d’它是一个建筑游戏également aisé要注意,猜想是三维的真实。 1930年,Keller有Condusturé que ce ré只要砖块是m,苏丹就在任何维度中有效ême dimension que l’espace.

首先ères recherches ont d’abord corroboré la prédiction de Keller : en 1940, le mathé德国曼特曼奥斯卡·珀朗é que la conjecture é对所有尺寸进行真实 1 à 6.然而,超过五十年后,1992年,第一个反例à la conjecture générale a été découvert : les AméRicans Jeffrey Lagarias和Peter Shor已经表明é que la conjecture é在维度中是假的 10.

凯勒铺路猜想

©Samuel Velasco / Sultia Magazine; source: //www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/

推理éléMentral让您看到,如果凯勒的猜想是一个尺寸的错误,它是é对于所有尺寸也是假的é。因此,在Jeffrey Lagarias和Peter Shor的工作之后,只有剩下的à dé显示或使猜想呈现或使其无效’en dimension 7, 8 et 9. Jusqu’à ce qu’en 2002, John Mackey表明猜想在维度中是错误的 8 – et donc é也在维度 9.

这是什么都不多’une dimension à explorer : la dimension 7. Soit c’était最大的尺寸où凯勒的猜想是真的,或者c’é是最小的尺寸où elle est fausse.

一个问题ème de graphes

作为à mesure que les mathé曼蒂安人袭击了és à ce problème au fil des décennies, leurs méthodes ont changé。虽然珀罗曾证实过é思维尺寸  1 à 6只有一张纸和一支铅笔,研究人员在安妮中学到了ées 1990, à traduire son énoncé général d’une façon complètement différente. C’这个新的观点允许它们使用计算机。

凯勒的猜想制定了éE,最初,在任何大小的任何空间中,哪个是Homog对象ènes和持续的。在这种类型’空间,有一个无限的é de faç放置无限é相同的砖。但电脑不合适és à la résolution de problè我涉及无限数量的可能性és :它们仅与完成和谨慎对象相关。

1990年,数学ématiciens Keresetély Corrádi et Sándor Szabó恰恰是é与猜想,名称有关的这种谨慎对象é « graphe de Keller ». Plus précisément, ils ont montré那些属性été这个图形的s,true或false是équivalentes à凯勒的猜想,所以vérifier ces propriété在此图中输入了îne immé猜想是真实的。 L.’intérêt est que cela ramè做凯勒的猜想,包括可能性és infinies, à un problème relatif à l’arithmétique d’un nombre 只完成了成品。

这是它的工作原理。假设这一点’on souhaite ré将凯勒的猜测在尺寸2中延伸。 对于初学者来说,想象一下十六és posé在一张桌子上,看到上面,他们的脸à两个职位éE向上(此数字选择 2翻译我们int的事实éresserons à尺寸2的猜想;我们很快就会解释ô选择D的数量és。)收集现在出现在面孔上的每个点é使用四种可能的颜色 :红色,绿色,白色或黑色。我们认为è一个m的两点ême dé作为不可互换的。

一个fois les points des dés colorié我们,我们将互相联系és par une arê当两个条件是réunies : les deux dés présentent deux points « homologues » (à la mê我的位置)差异颜色é年份,另外两个同源点是颜色不仅是差异érentes, mais associées par paires « complémentaires »,两对完整的成对émentaires étant « rouge/vert » et « blanc/noir ».

因此,例如,如果是dé穿两个红色点,另一个dé两个黑点,它们没有连接és :他们满足第一支批者èRe(两点同源颜色差异é年份),但不是第二个(两点同源émentaires). À l’inverse, si un dé est colorié在红色和黑色,和l’其他在绿色和绿色,然后有一个arête entre eux, car ils有两个多彩颜色的同源点é(红色和绿色),另外两种不同的颜色同源点é年金(黑色和绿色)。

有十六岁çons diffé两点着色年份,有四种颜色和c’是我们花了十六岁的原因és. Après avoir colorié ceux-ci de faç每个着色配置都表示ésentée,连接所有对é满足上述两个条件的谁。

那是核心问题 :有一套四个dés tous relié它们在凯勒图中的它们之间(每个三个)也是如此éfini ? Un tel groupe de dés totalement connecté est nommé une « clique »。 Kereset的工作ély Corrádi et Sándor Szabó montrent que si l’人们可以在图中找到一个,我们会有émontré凯勒的猜想在这个维度中是假的。但正如我们所看到的那样,这是évè维度2中不可能,这意味着凯勒的猜想在尺寸2中是真的。

凯勒图猜想

©Samuel Velasco / Sultia Magazine; source: //www.cs.cmu.edu/~mheule/Keller/

在这种重构中,DéS不是直接砖块 pavage considéré在凯勒的猜想中– des carrés en l’尺寸中的发生或立方体或超机érieures –但我们可以看到每一个é comme repré感觉砖,两点的颜色d’un dé comme des coordonnées(横坐标和秩序ée)位于carré在计划中。最后,’existence ou non d’une arête entre deux dés encode la façon dont les carré■记者所在és l’un par à l’autre.

加écisément, si deux dé究竟是mêmes couleurs aux mê我的职位,他们代表ésentent deux carrés qui sont situés exactement au mê计划的位置。 S.’ils n’没有常见的颜色,没有对彩色同源点émentaires (l’un des dés n’est colorié qu’在红色或绿色,和l’其他白色或黑色),它们代表ésentent deux carré部分叠加,哪个n’在路面中不可能。如果是D.és有两个同源点的mê我的颜色和另外两个点全彩色同源物é(例如,l’一个是红色和黑色,l’在m中的其他绿色和黑色ê订单),所以它们代表ésentent des carré没有叠加的人,有一个常见的脸。

最后,和c’是最重要的情况,如果这是两个dés有两个多彩颜色的同源点é而另外两种不同的颜色同源点érentes – c’est-à-dire si les dés sont reliés par une arê在凯勒图中的te–这意味着carré记者触摸,但是décalés l’un par rapport à l’autre, et donc ne s’不要相交’une face complète. C’是搜索的这种配置éE作为凯勒猜想铺平计划的一部分。 S.’可以铺平计划 利用这种无常见方面的配置,猜测是假的。

凯勒猜想图书馆

©Samuel Velasco / Sultia Magazine

经过à la vitesse supérieure grâce aux ordinateurs

有三十’années, Keresetély Corrádi et Sándor Szabó ont ainsi démontré qu’使用这封对应关系,我们可以é在任何尺寸,叶子中焊接凯勒的猜想à modifier les paramè非常有关dés. Pour démontrer凯勒在维度的猜想 3,我们可以例如考虑érer 216 dés(而不是16),每个都具有三个可色点,六种颜色ré零件三对émentaires (216 = 63,6 é两个颜色和3的数量 维度)。一旦其中一些dés reliés par des arêtes comme dé上面写的,那么这个问题就会知道’il existe huit (23)é在他们中间形成一个集团的人。

F Açon générale, pour démontrer凯勒在维度的猜想 nO.n utilise un certain nombre – calculé de façon similaire à ci-dessus – de dés ayant chacun n 多种颜色的可色点,我们尝试点击单击 2n。为了’直觉,我们可以想象,这点击代表ésente une sorte de « super-brique », composée de 2n 砖块 cubiques élé与谁铺设了’espace de dimension n :如果存在这样的超砖,而不包含自己ê我的砖块砖,它意味着’我们可以覆盖所有的’使用翻译副本的空间ées (« décalées »没有立方体的没有旋转或尺寸变化)élémentaire ne partageant jamais une face, ce qui contredit凯勒在维度的猜想 n.

例如,John Mackey展示了é那个凯勒的猜想é在维度中是假的 8通过查找大小256的点击(28) 之间és à八点。解决维度的猜想 7, la derniè为什么réponse restait inconnue, il fallait donc chercher 单击大小128. (27)ans certains graphes de Keller. L’existence d’这样的点击将涉及é que凯勒在维度的猜想 7 est fausse ;他的缺席会意味着é相反,猜想是真的。

但是,在大图中找到尺寸128是一个问题ème particuliè艰巨。在PR工作中écédents en dimension 10 ou 8, les mathé发动机已经使用过é有问题的空间的事实« factorisent »从某种意义上说出来î更小的空间,因此更容易à对待。但维度7,素数,n ’不要提供这个设施é. Il était donc nécessaire d’探索所有复杂性é尺寸中的组合凯勒图 7,无需轻松简化。

虽然这t.âche, bien que mécanique, représente un défi insurmontable pour l’esprit humain, c’正是计算机知道r的那种问题é躺着,特别是一点点’aide.

一个问题è我以纯粹的逻辑术语重新制作

要将批变转换为一个问题è易于访问à计算机,它与重新制定这个问题是相关的 用命题逻辑的语言。他’agit d’une classe d’énoncés logiques qui intè谨慎修复é de contraintes.

想象一下,你和两个朋友组织了一个fê你。你们每个人都有连衣裙é sa liste d’invités idé啤酒,但你有intérê有些有些不同。例如,you-mê祝我邀请爱丽丝或排除索孔(或两者à la fois, les « ou » sont ici inclusifs) ; l’你的朋友共同组织者想邀请Carole或Bob ;最后,你的另一个朋友,有老rancœURS,想要排除Alice或Bob。Étant donné所有这些约束,出现了一个问题 :有什么名单’invité满足每个组织者的限制 ?

在计算机科学中,这种问题是NOMMé « problème de satisfiabilité » (ou « satisfaisabilité »). Pour y répondre, on la réécrit sous forme d’une « 命题公式 », c’est-à - 地逻辑公式,可以ê真假,复合ée de briques – ou « variables » – élémentaires combinées avec les opérations logiques « OU », « ET » et « NON ». Dans l’exemple de notre fêTe,注意到A,B和C分别相应的逻辑砖à爱丽丝,鲍勃和卡罗尔,l’套POS限制é组织者éécrit : (A OU NON C) ET (C OU B) ET (NON A OU NON B).

一台电脑é值逻辑值(« vrai » ou « faux ») d’这种公式替换ç蚂蚁每个变量 1 ou 0. Un 0表示变量是假的,而且’un 1 signifie qu’她是真的。所以,分配值0à la variable A représente le fait qu’Alice n’est pas invitée,并分配价值 1 signifie qu’elle l’是。有很多façons d’attribuer des 0 ou des 1 aux diffé主题公式中出现的逻辑变量年– c’est-à-dire de façons d’établir une liste d’invités –,并且有可能’après avoir passé查看所有可能的配置,l’电脑得出结论’换句话说,不可能满足所有请求’将逻辑值分配给变量,以便命题公式为真。在我们的情况下,有两个FAçons de résoudre le problème 通过满足所有组织者 : A = 1, B = 0, C = 1(邀请爱丽丝和卡内尔,但不是鲍勃),和 A = 0, B = 1, C = 0(仅邀请鲍勃)。

计算机程序« résout » une 命题公式 de ce type est appelé « solveur SAT », où SAT est l’abréviation de « satisfiabilité »。这样的程序探讨了归属值的所有组合é到变量并提供ré以下形式的响应 : soit « OUI », il existe une faç我们也满足了公式« NON », il n’en existe pas.

搜索’une clique d’une taille donné实际上是图表中的E(例如,128)êquestion : elle peut être réé命题和顺从公式的标准àSAT求解器。想象很多dé每个有许多颜色的7个可色点。我们可以在每一点上彩色吗?é de sorte qu’il existe 128 dé这一切都是相关的é根据r彼此ègles précédentes ? En d’其他术语,我们可以将颜色属于FA的点吗?çon qu’点击大小128 ?

La 命题公式 ainsi construite, qui capture凯勒在维度的猜想 7, est très longue : elle contient 39 424 variables diffé年份,每个都可以占据价值 1 ou 因此,FA的数量ç为它们分配它们代表的逻辑值é感觉可能的颜色数量是239 424 – un nombre démesurément grand.

对于R.ésoudre « naïvement »凯勒在维度的猜想 7,计算机应该vérifier une à所有这些配置 :要么通过它们来通过显示所有审查’没有渲染真正的公式(在这种情况下,它’没有点击尺寸128,所以凯勒的猜想是真的),或者找到一个渲染真正公式(Keller的猜想是假)。原样,数量’opérations élémentaires est é常态,地球上可用的所有计算能力都远远抵达’ê足以在合理的时间内完成此计算。

但John Mackey,Marijn Heule和Joshua Brakensiek发现了é计算机如何发生à没有拥有的结论à vé撕裂了每种可能性é une à une.

Sym Exploit.étries cachées pour plus d’efficacité

John Mackey今天记得好ù, à ses yeux, le projet 真的成功了。他拓宽了tê在他的办公室前面在绘画前的两个共同作者,当时马里亚希拉有 proposé une façon d’组织计算’ils soient réalisé在合理的时间内。

有很多façons d’优化搜索’在给定图中的一个集团é。想象一下我们有很多és在桌子上,每个七个可色点,我们正在尝试用128 dés de sorte qu’ils soient reliés, c’est-à-dire qui vérifient les rè凯勒图。例如,假设我们着色déjà douze dés de façon qu’他们形成一个集团,但我们没有’arrivions pas à trouver une maniè着色reizième dé de sorte qu’il soit relié aux douze précé牙齿。然后可以’é行货所有配置为128 dés含有d的这种组合é十二d不可用的部分és. Si les premiè变量不粘在一起,它是无用的éoccuper 剩余的变量。这个技巧允许général de réduire considé研究。

一个autre forme d’优化涉及符号é排序。一些数学对象ématiques sont symétriques, c’est-à-dire qu’ils restent inchangés par certaines opérations géomé。在这种情况下,可以理解或重建’通过只知道只有一个服务来充分的对象 : à partir de la moitié gauche d’一张脸,我们可以例如猜测’autre moitié.

这种« raccourci »在凯勒图中工作。想象一下,我们安排了és coloriés – représentant des tuiles –在桌子上,试图出现î是一个集团。开始ç在表的中心,并构造例如左侧的配置。如果,4月份ès avoir placé avec succès quatre dés tous relié在他们之间,它是不可能的’en placer un cinquiè我们可以形成一个尺寸5,我们可以é限制D的这种配置é以及所有那些人érivées。但我们也可以排除符号étrique laté从这种配置中,从中,从中心右转到桌子的右边。

mê我,考虑到这种类型的符号étries dans des problèmes de « satisfiabilité », la duré考虑e计算érablement ré点。四个数学ématiciens ont tiré这些简化的一部分,这是d’une façon novatrice :他们有,等自动化é考虑到符号étries, là où在Pr工作中écédents, les mathé曼蒂安人几乎对待他们« à la main ».

在这样做时,研究人员有优化é la recherche d’单击大小128. à tel point qu’au lieu de tester 239 424 配置,他们的SAT N求解器’avait plus besoin d’en tester qu’大约10亿。它有变化é计算会很难的计算é une éternité en une simple vé常规溃败 : aprè在四十台计算机上只需半小时的计算,他们有réponse.

和réponse est non : il n’existe pas de façon de colorier 128 dés de sorte qu’它们形成一个集团,因此凯勒的猜想在维度中是真实的 7. Tout pavage de l’espace de dimension 7通过相同的超机包括é最终通过完整的脸互相触摸的耐磨性两个超速ète.

但是电脑程序Développé由研究人员实际上产生的比这个简单的r更多éponse : il a é还提供了很长的证据,« pesant » plus de 220 gigaoctets. Cette démonstration n’不仅仅是计算机有测试的所有可变配置的列表ées ; c’est une suite d’m的逻辑论点ène à la conclusion qu’单击大小128. n’existe pas.

四个数学é曼蒂安人然后提交了这一点émonstration à un vé证据ridifier–一个遵循的计算机程序’une preuve pour en vérifier la validité –, qui a confirmé que la démonstration d’« insatisfiabilité » était有效。并这样做,他们放了一个终点à凯勒的猜想。

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