数学

数学和哲学

我们可以吸取什么哲学课程?是否难以在数学上证明的困难结果?

Jean-Paul Delahaye 科学#277
本文保留用于科学用户

科学与哲学之间的关系是暧昧的。哲学经常采用对科学的正常化态度,设定“科学”的标准:哲学家建议通过提供建议来帮助科学。

哲学已经能够为科学的真实服务,以及艾伯特爱因斯坦,KurtGödel,Max Planck或Jacques Monod等伟大学者们对帮助他们制定和捍卫大胆的哲学思维。他们提出的理论。

唉,往往,哲学向科学提出的概念已经放缓或推迟了新奇,而不是他们赞成他们。在进化理论中的发展中,相对论,量子力学和数学逻辑的理论,哲学一直是一个障碍,而不是发现的帮助。

这种挑衅性肯定需要很长时间分析是完全合理的。简单地唤起了Henri Bergson,以一些直觉的名义,反对相对论的理论,并开始了解它。让我们也想到这些概念 先验 来自数学是:HenriPoincaré和其他人拒绝了数学逻辑的进展 - 特别是套装理论,今天普遍采用,没有数学家不能发生。

仍然考虑进化理论遇到的困难,在 XIX.e 到处都是世纪 XX. e 世纪在共产国国家(在Lyssenko案例中,它是基于现代遗传学谴责的辩证唯物主义的无产阶级科学的名义。即使在今天,在美国,关于生命的虚假哲学思想禁止科学思想断言其观点并阻碍扩散。

还记得康德的空间的概念与今天普遍存在的物理学的概念不相容,在这里认为几何形状(欧几里德,双曲线或球形)的性质必须通过观察和实验来确定,而不是通过简单分析来确定 先验 立即的理性数据。

事实是,科学丰富哲学和更新,不仅仅是相反的。

这种观察,一些哲学家几乎接受(例如,参见, 没有的哲学,来自Gaston Bachelard),将哲学视为科学的障碍,同时使某些哲学家的声明是不可接受的,告诉研究人员他们如何工作。

大学哲学

在数学,逻辑和计算理论中,哲学的问题成为科学进步,技术问题 - 在这种情况下,在这种情况下数学问题 - 其解决方案(有时意外)富有哲学含量;表现出来的印象是科学使哲学成为哲学并取代它。

在以前分类的课题“纯粹的哲学”中的不可否认的不可否认的进展中,当然,有关于无穷大的人。考虑到这一域名预留哲学家甚至神学家,数学家已经成功地成功了几个阶段(几何,数量,无穷小的计算,Cantorian理论,套装理论,大型基数)来喂养无限远的概念和构成一个系列Infinity概念揭示了哲学不得不检测的财富的新数学域。

在。。。之初 XX. e 世纪,数学逻辑指定了数学证据的概念,允许哲学思考数学依赖于多种特定概念(正式系统,命题计算和计算谓词,模型等)和深度结果(完整性的定理,限制主题等)。数学的哲学已经改变,如果辩论变得更加技术,那么接受这些数学进步的哲学家的反思只是更相关和尖锐(例如, 数学哲学,W. H. Hart Ed。,牛津大学出版社,1996年)。

澄清1936年大约1936年的机械计算概念(通过K.Gödel,A.教堂,A.图灵)提出了一条新纪律的基础(称为递归理论或计算理论),最近揭示了奇迹般的应用科学哲学领域。 Kolmogorov的复杂性理论,最近的计算理论的发展,是从这个角度来看,效率显着。它拥有许多提案,其哲学范围是不可否认的,在某些情况下,已经解决了哲学家本身所带来的问题。

在向研究理论的最后一项贡献中提供一些细节之前,“数学上困难的结果几乎有用?”,毫无疑问的哲学和有趣的问题,我们将迅速飞越理论理论的思想Kolmogorov的复杂性。

复杂,简单,机会

由R. Solomonoff,A.Kolmogorov和G. Chaitin于1965年左右制定,算法复杂性理论,现在称为Kolmogorov的复杂性,旨在定义一个简单的对象,并提出了复杂性的绝对衡量标准。

这个想法是显而易见的意思:套件010101010101010比套件10000100110101110110更简单。为什么?因为第一序列可以简单地定义,它是“十次01”,而第二个是不可能的,同样的简洁不如:要描述它,我们几乎不能更好地枚举元素:“1,然后0,然后0 0,然后0等“,这需要更长。

计算理论,要更精确地在程序方面定义,采用通用转动机器,这是一种抽象计算机,其真实计算机是特定实现的,详细信息附近:真正的计算机只有完成的工作内存,虽然图灵机具有可扩展的无限内存磁带。该理论建议选择一个通用车削机, U并说一个对象 O,以0和1的序列的形式表示(随着它每天演示它,始终可以),如果存在短节目,很简单 P 对于机器 U 它生成对象 O。如果相反,没有短暂的程序,则一个对象将是复杂的 UO.

这个定义几乎没有取决于机器 U 选择,这是令人放心并保证概念的不变性。 Kolmogorov的复杂性 O, k(o),是允许机器的最小程序的尺寸(以二进制数字的数量测量) U 生成 O.

这个非常自然的想法:“简单地表达了简单的表达”,特别是允许定义随机延续的概念,这是通过使用禁止禁止我们可以说的概率的集体概念来规避概率理论的问题序列,它是随机的。随机对象的个人定义已经追求哲学家,例如卡尔波普尔,1934年的根本书籍, 科学发现的逻辑 (May Jacques Monod钦佩了很多)致力于几页。

根据Kolmogorov的复杂性理论,如果根据我们采取的定义,则无限的二进制数字序列是随机的 n 数字,获得一个对象,其复杂性Kolmogorov大致 n。否则说,不可能压缩所包含的数据 (在0a1a2...在n......) :随机是不可压缩的。

然后在不可压缩性和不可预测性之间建立链接:随机序列是自然,不可预测的,因此不可压缩。这些定义对一系列模糊的哲学想法给了数学意义,并且在许多不成功的尝试后,这种显着的成功出现了一个小奇迹。

20世纪90年代的Kolmogorov复杂性的理论达到了卓越的成熟,读者感兴趣的概述在明丽和Paul Vitanyi中的深层和合成书中的精彩理论概述,以及参考书目,以及参考书目和书目以及参考书目和书目。更简洁的呈现是我的工作 信息,复杂性和机会, 还引用了参考书目。在Kolmogorov的复杂理论带来的哲学进步中,我们注意到了这些。

(1)对Gödel的不完整性定理的新了解:在特定理论中,未定的提案(否则他们也不是他们的否定)欠他们的事实是该理论的信息内容(通过理论的Kolmogorov公理的复杂性测量)限制其证据的权力:不完整是理论信息中信息的问题,这在逻辑学的先前工作中没有明确看出。

2)物理熵的客观设计:传统上定义时的物理熵包括主观组件(它似乎取决于观察者,这很烦人)的物理学家W. Zurek提出的定义,定义是基于考虑的定义观察者存储的信息的康沃罗夫的复杂性。

3)数字 欧米茄 Chaitin是唯一可以精确定义的实际数字,并且可以证明它在所有基座中等级(例如,其写入具有多达1,仅为2等。),哪个再次阐明了不完整性和算法造成的现象,并对措施理论的一致性(这表明有数量的令人遗憾的是,但不提出任何定义方法)。

4)对科学归纳问题的新认识(哲学家休谟认为是不可能的,这是在K. Popper的工作的起源),贝叶斯的统治和奥克兰的格拉索的原则(这表明了这一点,在解释中,必须尽可能多地避免它可以增加实体和概念)和所有这些概念的精确链接。

(5)Charles Bennett的提案是随机复杂性和有组织复杂性之间的数学区别(使用Kolmogorov的复杂性),似乎对解释宇宙结构的综合性的区分,随着时间的推移(恒星演变,演变生活等)。

困难结果的有用性问题

枚举可以持续,但我们将停止最近的复杂性理论的一个应用,以研究理学的认识论问题:数学上困难的结果是那些在应用程序中有用的机会或开启相反,是一个数学上困难的结果仍然被谴责对混凝土的影响很少?

当然,所有数学家都想要并试图捍卫展示困难结果的想法是重要的,非常有用。当然,没有人争议,摘要要证明的抽象理论,复杂或长期结果往往是美的美容,构成了非凡的人类成就。同样,没有人怀疑对物理或数学世界的深刻理解需要概念和理论可以具有巨大的抽象,并且非常困难。据说一次(可能夸大)只有爱因斯坦理解相对论的理论,其公用事业是不可否认的。

这只是什么是难道结果是因为长期以来展示的难度是有用的,而不考虑到理解的难度,这是另一个问题(每个人都知道一些简单的演示结果难以理解)。

必须认识到,不可否认的难度结果具有很少的精确具体应用。相反,数学最有用的定理似乎非常简单。一些例子确认了这一评论,即最近发达的Mathematician J. Hartmanis。

简单而非常有用,或困难但没用?

是那些声称我们将在Fermat定理中找到具体应用的人(没有整体方程解决方案 x n + Y. n = Z. n, 为了 n 大于2),在六年前发现它之前,历时地尝试了几个世纪的演示,使用了极端困难,既长期难以使用巨大抽象的概念。今天,Fermat定理是难以数学结果的典型示例,但没有具体的效用。

在数学的困难结果中,有素数的着名稀有性定理,这表明整数附近的整数中素数的比例 n 是 environ 1/ln(不是)。长期追捧,这个定理证明于1896年由Jacques Hadamard和Charles de laVallée-鸡发现。这种证明,长而复杂,已经非常仔细研究。避免使用抽象概念的变化,这似乎是奇怪的证据是发达的,但这些基本的变种在他们的概念中总是漫长而复杂的。因此,我们可以说,没有错误的风险,这结果是展示复杂结果的一部分。然而,它的实用效用似乎减少了,我认为没有商家,保险公司,化学家或物理学家永远不会找到本定理的任何效用:即使他有助于某些算法的设计,在保证正常运行方面也不用。

算术的结果是最有用的,例如密码造影,都是相对简单性的,并且例如,证明算法的结果 RSA. (看 加密RSA二十年后, 科学,2000年2月)是元素,而素数稀有定理所必需的是元素。通过悖论来计数:结果 RSA., 比素数的稀疏定理更简单,并且在稀有之后制定和展示了:这很困难,并不从中展示 RSA.但要发现它并了解其兴趣。

Karatshuba计算规则正处于同样的情况,但更清楚。它允许大量的快速乘法,这是所有数学的最有用的结果之一(每秒通过,它由数千台计算机使用)。然而,这条规则真的很容易证明。

相反,许多其他主要的数学结果(简单群体的分类,Π的超越π,哥德尔的定理等),其示威性似乎是污染的实用效用。

同样,伟大的未挽回的猜想(哪一个可能认为它们是不可解释的,因为它们没有简单的演示)似乎没有潜在的应用。如果我们设法建立了第一个双数(总理双数)的无限,或者任何一对是两个素数(Goldbach猜想)的总和,或者Syracuse算法总是导致1(Conjecture de Syracuse),没有任何混凝土会导致,没有 启动 让我们出去,摘要顾问提供的奖励敏感的数学和大学职位,即将解决这些问题的天才,他们是纯粹的挑战,没有预期的经济或物质后果。

在着名的猜想上进行的思考 p = np. (遵守算法有效性问题)带领Mathematician J. Hartmanis相信他的解决方案(如果我们发现它)不会具体地改变计算机科学的情况。再次,即使在计算机科学中,人们也相信发现确认,难以证明无法具体用。

这一发现不应该阻止我们制作数学,但相反必须放心我们:如果有用总是容易证明,这是制作数学的更多理由,因为适用的是适用的东西,是什么意思最大的数字。

复杂证据无用的法律

有用的数学结果似乎如此简单,或者 - 是什么 - 这是什么 - 在数学上复杂,在混凝土平面中似乎似乎似乎似乎是不必要的。我们可以建立这样的一般和哲学肯定吗?是的,这就是来自复杂性理论的vladik kreinovich和longpré,两个研究人员。他们已经证明,如果结果可能有用,那么它无法有复杂的证据。

技术结果是不可能在其所有细节中解释,但仍然试图呈现它,值得。

两位研究人员,到达他们的结果,首先给了一个潜在有用的结果的概念的数学定义。

对于他们而言,这样的结果是一个陈述 S,这使得可以建立类型的公式“全部 x, p(x)“, 或者 p(x) 很容易可验证(例如,类型的公式)如果数量的总和 x 那是9的倍数 x 是9“的倍数。

他们的定义是合理的,因为这是这种类型的结果,可以确保算法方法正常工作:编码算法,数据库中的搜索算法,数据排序算法,数值计算算法,仿真算法,仿真算法等。

然后两位研究人员以精细和微妙的方式定义了复杂的证据 (见图5).

它们的结果,配制更精确,是:如果 S 只有复杂的证据,并允许向所有事情表明这一切 x p(x),所以对于几乎​​所有合理的尺寸数据(我们在实践中唯一遇到的) p(x) 无论如何都是如此 S。几句话:如果 S 是复杂的,那 S = > (pour tout x p(x))所以,除外外,我们不需要 S 要知道 p(x) 是 vrai.

非常短,如果 S 很复杂,那么这不是一个有用的结果。

这一结果特别适用于riemann的猜想(涉及素数分布的结果,并且被认为是今天最受欢迎的数学数学陈述)。 G. Miller和E. Bach已被证明,如果黎曼的假设的广泛形式是真的,那么有一种有效的算法(米勒和巴赫算法),以测试多项式时间中整数的原始,这是有效的。这种情况导致了许多数学家相信,即使在实际应用的光学的光学中,黎曼的假设的研究也是有用的。

证明riemann真的很有用吗?

由米勒算法创建的情况是毫无疑问是一种有效的原始测试算法,其适当的功能取决于广义黎曼假设的真实性。 Vladik Kreinovich和LukeLongpré的结果是:如果真的,普通的riemann假设没有简单的证据,那么合理尺寸的整数的米勒算法几乎可以正确地工作。我们可以提交的所有情况。如果要使用此算法,我们不需要实践广义riemann假设的演示。

这种实际使用Riemann假设在原始测试的情况下也是通过真实计算机的使用证实:在使用素数是密集型的加密应用中,方法最常使用。原始测试概率主义者,即其正常运行的方法通过相对简单的推理是合理的,但这使得以概率的方式给出了结果,换句话说,具有风险,被认为可以忽略的“错误”。

一切都没有完成

请注意,为乐趣,Vladik Kreinovich和LucLongpré的结果有一个相当短的演示(约一页):因此,根据它教导我们的说法,这不是不可能的,这是一个具体用的结果!

另请注意,在所有严峻的情况下,尽管对此进行了长期的研究,但它没有逻辑排除在riemann的猜想中具有简单的演示。如果是这样,riemann假设可能实际上是有用的。我们必须继续寻求证据,即使纯粹的数学兴趣似乎对我们自己的充分理由似乎没有。

应该指出的是,在数学翻译之后,在某种特定形式之后,已经可以确定困难是无用的,我们不能过度重视Vladik Kreinovich和LongpréLuc的结果,其中他们的定义,单词的含义可能很快。

在所有数学家的核心中,刻字是难以置信的,更加困难,更美丽和重要,因此至少通过深化和更好的愿景,使我们对抽象实体的世界的看法。 “科学的独特目的是人类精神的荣誉,”在1830年就向他的同事传奇的信函写了雅各麻痹数学家。数学形式主义不太可能抓住一天。这种哲学真理!

以下是对科学进步感到不安的哲学领域的一些例子:

- 达尔文理论的生活和人的概念;

- 通过相对论理论的时间和空间的设计;

- Quantum Mechanics的确定性和物理物体的设计;

- 通过数学逻辑的进展,设计推理,其性质及其局限,大脑和智力的设计。

成立的科学就是这种科学的重要意义:“当代科学思想的进步已经确定了知识原则的转变。”

- Goldbach的猜想:任何一对的总和是两个素数(赢得一百万美元):24 = 11 + 13;

- 第一个双数的猜想:有一个无限的来自两个单元(如11和13或17和19)的成对的素数;

- 奇数的猜想:没有完美的奇数(完美的数字是6 = 1 + 2 + 3或28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14的数字,其等于他的总和除了他自己以外的分歧。这可能是所有数学猜想中最古老的猜想。

- équiπ图π:π的十进制开发中的每个数字的频率为1/10。

陌生人,似乎是伟大的计算猜想的示范“p = np. ?“ (涉及根据其决议难度的问题分类,并且已经赋予今年的一百万美元的价格)不会产生具体的后果。如果我们表明p是不同的 NP. (一般认为专家思考),没有新的算法将会产生。如果我们展示了这一点 p = np.,似乎这将是这样做的,即没有任何具体的有用的方式会出现。

(a + b × 10kc + d × 10k)= AC. – [(a bc d - AC.BD.] × 10k + BD. × 102k

它可以在第三级展示。当将两个整数乘以2K长度的整数时,将计算到3个大小k的整数之间的3次数,其与通常方法基础的古典标识相比,将25%的计算时间节省了25%。:

(a + b × 10kc + d × 10k)= AC. + (广告 + 公元前) × 10k + BD. × 102k

在Karatshuba公式中,添加更加众多,但乘法旁边差不多。

直接以这种形式或更具精细的形式(但仍然易于演示),Karatshuba的身份是数学的最实际结果之一,因为许多计算软件都使用。但它在第三个学生的范围内......

下一个定理是由于G. Miller和E. Bach:

如果广义的riemann假设(与素数的分布相关的猜想,这规定了上面所示的这个函数的零,则在脓肿1/2的右侧)是真实的,如果是的话 a entre 1 et 2.ln2(不是) 数字 n一个强烈 - 可能 - 首先, 所以, n 是 premier.

(数字 n一个强烈 - 可能是第一个 如果在写作之后 n – 1 = 2r 问: q 奇怪,我们看到了 aq = 1 mod. n 或者 a q 2 i = -1 mod n 对于整数 i = 0.1,......, r – 1.)

让我们考虑以下算法:

米勒和巴赫的算法

•对于一切 a = 2, 3, jusqu'à 2.ln2 (不是), 测试 n一个强烈的 - 可能是第一个;

•尽快答案是否定的,答案: n 是 composé ;

•如果答案一直是肯定的,则答案: n 是 premier.

米勒和巴赫的结果意味着,如果广义的riemann假设是真的,则该算法从未错误。该算法在多项式时间中运行即要快速地说。我们有一个快速算法来测试整数的原始性(这是毫无疑问的用),但不确保保证其正常运作的保证,因为广义的黎曼假设仍未明确。因此,似乎广义riemann的假设是具体既困难和有用的结果:其示范将保证米勒和巴赫算法仍然有效。

最近的Vladik Kreinovich和LukeLongpré表示尽管这种情况,但广义的riemann假设并不是真正有用的,因为在实践中,没有riemann的假设,它表明除了非常罕见的情况,米勒和巴赫算法的工作正常。

他们的定理,其含义更为一般,意味着,如果结果只有复杂的演示,那么它就无法具体用。

- 如果结果可能是有用的,那么它不可能具有复杂的证据。

他们的工作表现了几个阶段。

- 制定潜在有用的结果的概念的数学定义。根据它们,如果可以证明算法的正常运行,则结果是有用的,并且该算法不能被概率算法替换(即,也可以使用错误风险的运行。小的一个愿望)其正常功能易于建立。

- 制定复杂证据概念的数学定义。他们的定义考虑了原因的基本阶段的数量和由于可能的重复部件,证书的可能性。对于他们来说,复杂的证据是一个长的证据,即使在利用重复部分之后也仍然存在。

- 使用复杂性理论来证明他们的肯定。

Kreinovich和LongPré的结果是最近的一个例子,来自数学结果的复杂性与有趣和意外的哲学内容。他很可能是令人厌恶的数学家,甚至最困难,甚至最困难,唤起可能的未来应用。

科学通过呼吁质疑常识的概念来使哲学成为哲学。哲学无法承担这种折扣,因为其具体的支撑有限,这影响其劝说力,禁止敢于敢于科学被限制为跨越她遇到的障碍。这些大胆的科学是哲学后果的进步有时是重要的。

哲学已经能够为科学的真实服务,以及艾伯特爱因斯坦,KurtGödel,Max Planck或Jacques Monod等伟大学者们对帮助他们制定和捍卫大胆的哲学思维。他们提出的理论。

唉,往往,哲学向科学提出的概念已经放缓或推迟了新奇,而不是他们赞成他们。在进化理论中的发展中,相对论,量子力学和数学逻辑的理论,哲学一直是一个障碍,而不是发现的帮助。

这种挑衅性肯定需要很长时间分析是完全合理的。简单地唤起了Henri Bergson,以一些直觉的名义,反对相对论的理论,并开始了解它。让我们也想到这些概念 先验 来自数学是:HenriPoincaré和其他人拒绝了数学逻辑的进展 - 特别是套装理论,今天普遍采用,没有数学家不能发生。

仍然考虑进化理论遇到的困难,在 XIX.e 到处都是世纪 XX. e 世纪在共产国国家(在Lyssenko案例中,它是基于现代遗传学谴责的辩证唯物主义的无产阶级科学的名义。即使在今天,在美国,关于生命的虚假哲学思想禁止科学思想断言其观点并阻碍扩散。

还记得康德的空间的概念与今天普遍存在的物理学的概念不相容,在这里认为几何形状(欧几里德,双曲线或球形)的性质必须通过观察和实验来确定,而不是通过简单分析来确定 先验 立即的理性数据。

事实是,科学丰富哲学和更新,不仅仅是相反的。

这种观察,一些哲学家几乎接受(例如,参见, 没有的哲学,来自Gaston Bachelard),将哲学视为科学的障碍,同时使某些哲学家的声明是不可接受的,告诉研究人员他们如何工作。

大学哲学

在数学,逻辑和计算理论中,哲学的问题成为科学进步,技术问题 - 在这种情况下,在这种情况下数学问题 - 其解决方案(有时意外)富有哲学含量;表现出来的印象是科学使哲学成为哲学并取代它。

在以前分类的课题“纯粹的哲学”中的不可否认的不可否认的进展中,当然,有关于无穷大的人。考虑到这一域名预留哲学家甚至神学家,数学家已经成功地成功了几个阶段(几何,数量,无穷小的计算,Cantorian理论,套装理论,大型基数)来喂养无限远的概念和构成一个系列Infinity概念揭示了哲学不得不检测的财富的新数学域。

在。。。之初 XX. e 世纪,数学逻辑指定了数学证据的概念,允许哲学思考数学依赖于多种特定概念(正式系统,命题计算和计算谓词,模型等)和深度结果(完整性的定理,限制主题等)。数学的哲学已经改变,如果辩论变得更加技术,那么接受这些数学进步的哲学家的反思只是更相关和尖锐(例如, 数学哲学,W. H. Hart Ed。,牛津大学出版社,1996年)。

澄清1936年大约1936年的机械计算概念(通过K.Gödel,A.教堂,A.图灵)提出了一条新纪律的基础(称为递归理论或计算理论),最近揭示了奇迹般的应用科学哲学领域。 Kolmogorov的复杂性理论,最近的计算理论的发展,是从这个角度来看,效率显着。它拥有许多提案,其哲学范围是不可否认的,在某些情况下,已经解决了哲学家本身所带来的问题。

在向研究理论的最后一项贡献中提供一些细节之前,“数学上困难的结果几乎有用?”,毫无疑问的哲学和有趣的问题,我们将迅速飞越理论理论的思想Kolmogorov的复杂性。

复杂,简单,机会

由R. Solomonoff,A.Kolmogorov和G. Chaitin于1965年左右制定,算法复杂性理论,现在称为Kolmogorov的复杂性,旨在定义一个简单的对象,并提出了复杂性的绝对衡量标准。

这个想法是显而易见的意思:套件010101010101010比套件10000100110101110110更简单。为什么?因为第一序列可以简单地定义,它是“十次01”,而第二个是不可能的,同样的简洁不如:要描述它,我们几乎不能更好地枚举元素:“1,然后0,然后0 0,然后0等“,这需要更长。

计算理论,要更精确地在程序方面定义,采用通用转动机器,这是一种抽象计算机,其真实计算机是特定实现的,详细信息附近:真正的计算机只有完成的工作内存,虽然图灵机具有可扩展的无限内存磁带。该理论建议选择一个通用车削机, U并说一个对象 O,以0和1的序列的形式表示(随着它每天演示它,始终可以),如果存在短节目,很简单 P 对于机器 U 它生成对象 O。如果相反,没有短暂的程序,则一个对象将是复杂的 UO.

这个定义几乎没有取决于机器 U 选择,这是令人放心并保证概念的不变性。 Kolmogorov的复杂性 O, k(o),是允许机器的最小程序的尺寸(以二进制数字的数量测量) U 生成 O.

这个非常自然的想法:“简单地表达了简单的表达”,特别是允许定义随机延续的概念,这是通过使用禁止禁止我们可以说的概率的集体概念来规避概率理论的问题序列,它是随机的。随机对象的个人定义已经追求哲学家,例如卡尔波普尔,1934年的根本书籍, 科学发现的逻辑 (May Jacques Monod钦佩了很多)致力于几页。

根据Kolmogorov的复杂性理论,如果根据我们采取的定义,则无限的二进制数字序列是随机的 n 数字,获得一个对象,其复杂性Kolmogorov大致 n。否则说,不可能压缩所包含的数据 (在0a1a2...在n......) :随机是不可压缩的。

然后在不可压缩性和不可预测性之间建立链接:随机序列是自然,不可预测的,因此不可压缩。这些定义对一系列模糊的哲学想法给了数学意义,并且在许多不成功的尝试后,这种显着的成功出现了一个小奇迹。

20世纪90年代的Kolmogorov复杂性的理论达到了卓越的成熟,读者感兴趣的概述在明丽和Paul Vitanyi中的深层和合成书中的精彩理论概述,以及参考书目,以及参考书目和书目以及参考书目和书目。更简洁的呈现是我的工作 信息,复杂性和机会, 还引用了参考书目。在Kolmogorov的复杂理论带来的哲学进步中,我们注意到了这些。

(1)对Gödel的不完整性定理的新了解:在特定理论中,未定的提案(否则他们也不是他们的否定)欠他们的事实是该理论的信息内容(通过理论的Kolmogorov公理的复杂性测量)限制其证据的权力:不完整是理论信息中信息的问题,这在逻辑学的先前工作中没有明确看出。

2)物理熵的客观设计:传统上定义时的物理熵包括主观组件(它似乎取决于观察者,这很烦人)的物理学家W. Zurek提出的定义,定义是基于考虑的定义观察者存储的信息的康沃罗夫的复杂性。

3)数字 欧米茄 Chaitin是唯一可以精确定义的实际数字,并且可以证明它在所有基座中等级(例如,其写入具有多达1,仅为2等。),哪个再次阐明了不完整性和算法造成的现象,并对措施理论的一致性(这表明有数量的令人遗憾的是,但不提出任何定义方法)。

4)对科学归纳问题的新认识(哲学家休谟认为是不可能的,这是在K. Popper的工作的起源),贝叶斯的统治和奥克兰的格拉索的原则(这表明了这一点,在解释中,必须尽可能多地避免它可以增加实体和概念)和所有这些概念的精确链接。

(5)Charles Bennett的提案是随机复杂性和有组织复杂性之间的数学区别(使用Kolmogorov的复杂性),似乎对解释宇宙结构的综合性的区分,随着时间的推移(恒星演变,演变生活等)。

困难结果的有用性问题

枚举可以持续,但我们将停止最近的复杂性理论的一个应用,以研究理学的认识论问题:数学上困难的结果是那些在应用程序中有用的机会或开启相反,是一个数学上困难的结果仍然被谴责对混凝土的影响很少?

当然,所有数学家都想要并试图捍卫展示困难结果的想法是重要的,非常有用。当然,没有人争议,摘要要证明的抽象理论,复杂或长期结果往往是美的美容,构成了非凡的人类成就。同样,没有人怀疑对物理或数学世界的深刻理解需要概念和理论可以具有巨大的抽象,并且非常困难。据说一次(可能夸大)只有爱因斯坦理解相对论的理论,其公用事业是不可否认的。

这只是什么是难道结果是因为长期以来展示的难度是有用的,而不考虑到理解的难度,这是另一个问题(每个人都知道一些简单的演示结果难以理解)。

必须认识到,不可否认的难度结果具有很少的精确具体应用。相反,数学最有用的定理似乎非常简单。一些例子确认了这一评论,即最近发达的Mathematician J. Hartmanis。

简单而非常有用,或困难但没用?

是那些声称我们将在Fermat定理中找到具体应用的人(没有整体方程解决方案 x n + Y. n = Z. n, 为了 n 大于2),在六年前发现它之前,历时地尝试了几个世纪的演示,使用了极端困难,既长期难以使用巨大抽象的概念。今天,Fermat定理是难以数学结果的典型示例,但没有具体的效用。

在数学的困难结果中,有素数的着名稀有性定理,这表明整数附近的整数中素数的比例 n 是 environ 1/ln(不是)。长期追捧,这个定理证明于1896年由Jacques Hadamard和Charles de laVallée-鸡发现。这种证明,长而复杂,已经非常仔细研究。避免使用抽象概念的变化,这似乎是奇怪的证据是发达的,但这些基本的变种在他们的概念中总是漫长而复杂的。因此,我们可以说,没有错误的风险,这结果是展示复杂结果的一部分。然而,它的实用效用似乎减少了,我认为没有商家,保险公司,化学家或物理学家永远不会找到本定理的任何效用:即使他有助于某些算法的设计,在保证正常运行方面也不用。

算术的结果是最有用的,例如密码造影,都是相对简单性的,并且例如,证明算法的结果 RSA. (看 加密RSA二十年后, 科学,2000年2月)是元素,而素数稀有定理所必需的是元素。通过悖论来计数:结果 RSA., 比素数的稀疏定理更简单,并且在稀有之后制定和展示了:这很困难,并不从中展示 RSA.但要发现它并了解其兴趣。

Karatshuba计算规则正处于同样的情况,但更清楚。它允许大量的快速乘法,这是所有数学的最有用的结果之一(每秒通过,它由数千台计算机使用)。然而,这条规则真的很容易证明。

相反,许多其他主要的数学结果(简单群体的分类,Π的超越π,哥德尔的定理等),其示威性似乎是污染的实用效用。

同样,伟大的未挽回的猜想(哪一个可能认为它们是不可解释的,因为它们没有简单的演示)似乎没有潜在的应用。如果我们设法建立了第一个双数(总理双数)的无限,或者任何一对是两个素数(Goldbach猜想)的总和,或者Syracuse算法总是导致1(Conjecture de Syracuse),没有任何混凝土会导致,没有 启动 让我们出去,摘要顾问提供的奖励敏感的数学和大学职位,即将解决这些问题的天才,他们是纯粹的挑战,没有预期的经济或物质后果。

在着名的猜想上进行的思考 p = np. (遵守算法有效性问题)带领Mathematician J. Hartmanis相信他的解决方案(如果我们发现它)不会具体地改变计算机科学的情况。再次,即使在计算机科学中,人们也相信发现确认,难以证明无法具体用。

这一发现不应该阻止我们制作数学,但相反必须放心我们:如果有用总是容易证明,这是制作数学的更多理由,因为适用的是适用的东西,是什么意思最大的数字。

复杂证据无用的法律

有用的数学结果似乎如此简单,或者 - 是什么 - 这是什么 - 在数学上复杂,在混凝土平面中似乎似乎似乎似乎是不必要的。我们可以建立这样的一般和哲学肯定吗?是的,这就是来自复杂性理论的vladik kreinovich和longpré,两个研究人员。他们已经证明,如果结果可能有用,那么它无法有复杂的证据。

技术结果是不可能在其所有细节中解释,但仍然试图呈现它,值得。

两位研究人员,到达他们的结果,首先给了一个潜在有用的结果的概念的数学定义。

对于他们而言,这样的结果是一个陈述 S,这使得可以建立类型的公式“全部 x, p(x)“, 或者 p(x) 很容易可验证(例如,类型的公式)如果数量的总和 x 那是9的倍数 x 是9“的倍数。

他们的定义是合理的,因为这是这种类型的结果,可以确保算法方法正常工作:编码算法,数据库中的搜索算法,数据排序算法,数值计算算法,仿真算法,仿真算法等。

然后两位研究人员以精细和微妙的方式定义了复杂的证据 (见图5).

它们的结果,配制更精确,是:如果 S 只有复杂的证据,并允许向所有事情表明这一切 x p(x),所以对于几乎​​所有合理的尺寸数据(我们在实践中唯一遇到的) p(x) 无论如何都是如此 S。几句话:如果 S 是复杂的,那 S = > (pour tout x p(x))所以,除外外,我们不需要 S 要知道 p(x) 是 vrai.

非常短,如果 S 很复杂,那么这不是一个有用的结果。

这一结果特别适用于riemann的猜想(涉及素数分布的结果,并且被认为是今天最受欢迎的数学数学陈述)。 G. Miller和E. Bach已被证明,如果黎曼的假设的广泛形式是真的,那么有一种有效的算法(米勒和巴赫算法),以测试多项式时间中整数的原始,这是有效的。这种情况导致了许多数学家相信,即使在实际应用的光学的光学中,黎曼的假设的研究也是有用的。

证明riemann真的很有用吗?

由米勒算法创建的情况是毫无疑问是一种有效的原始测试算法,其适当的功能取决于广义黎曼假设的真实性。 Vladik Kreinovich和LukeLongpré的结果是:如果真的,普通的riemann假设没有简单的证据,那么合理尺寸的整数的米勒算法几乎可以正确地工作。我们可以提交的所有情况。如果要使用此算法,我们不需要实践广义riemann假设的演示。

这种实际使用Riemann假设在原始测试的情况下也是通过真实计算机的使用证实:在使用素数是密集型的加密应用中,方法最常使用。原始测试概率主义者,即其正常运行的方法通过相对简单的推理是合理的,但这使得以概率的方式给出了结果,换句话说,具有风险,被认为可以忽略的“错误”。

一切都没有完成

请注意,为乐趣,Vladik Kreinovich和LucLongpré的结果有一个相当短的演示(约一页):因此,根据它教导我们的说法,这不是不可能的,这是一个具体用的结果!

另请注意,在所有严峻的情况下,尽管对此进行了长期的研究,但它没有逻辑排除在riemann的猜想中具有简单的演示。如果是这样,riemann假设可能实际上是有用的。我们必须继续寻求证据,即使纯粹的数学兴趣似乎对我们自己的充分理由似乎没有。

应该指出的是,在数学翻译之后,在某种特定形式之后,已经可以确定困难是无用的,我们不能过度重视Vladik Kreinovich和LongpréLuc的结果,其中他们的定义,单词的含义可能很快。

在所有数学家的核心中,刻字是难以置信的,更加困难,更美丽和重要,因此至少通过深化和更好的愿景,使我们对抽象实体的世界的看法。 “科学的独特目的是人类精神的荣誉,”在1830年就向他的同事传奇的信函写了雅各麻痹数学家。数学形式主义不太可能抓住一天。这种哲学真理!

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