数学

黎曼假设

“黎曼zeta函数”集中于数论的许多重要结果。但是,这些结果取决于一个猜想,该猜想在150年来一直是对数学家的巨大挑战:这个猜想是希尔伯特问题的重中之重,并由克莱数学研究所设定了价格。

彼得·迈耶(Peter Meier)和约恩·施陶丁(JörnSteuding) 科学档案N°74
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德国数学家伯恩哈德·黎曼(Bernhard 黎曼,1826-1866年)在他短暂的人生中取得了许多成就。他甚至对卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855年)的“数学王子”印象深刻,他在复杂分析中引入了新的拓扑性质方法,并通过他开发的几何学(今天以他的名字命名为黎曼)。在微分几何和微分方程(在自然科学中非常重要),数学物理学的论文,积分概念的理论基础以及许多其他方面,还添加了出色的著作。 。

黎曼笔中只有一篇有关数论的文章:关于质数小于给定数量的数。该文本也证明了其作者的天才。它包含许多直到几十年后才被证实的猜想。正如另一位黎曼(Riemann)简洁地评论道:“毫无疑问,我们对这一主张进行严格的证明是可取的。但是,在进行了几次快速失败的尝试之后,我暂时暂时搁置了这项研究,因为对于我的直接研究目的而言,这似乎是多余的。 ”

仍然缺少里曼“暂时搁置”的示威。但是他想证明的东西因黎曼猜想或假设而闻名。 1900年在巴黎举行的国际数学家大会上,戴维·希尔伯特(David Hilbert)想向他的同事们展示解决方法的23个未解决问题的清单。 xx e 世纪,黎曼假说的证据位于第八位。一个世纪后,克莱数学研究所(Clay Mathematics Institute)拿出了100万美元的奖金,因为它仍然缺少证据。

数以百计的数学基础

实际上,黎曼猜想在数论中非常重要。他的论证将为假设黎曼的主张是正确的数百项数学著作打下更坚实的基础。

这些结果尤其涉及素数集。为了便于记录,这些是大于1的整数,它们只能被1和2,3,5,7,11,13,17等除(无余数)。一方面,它们构成了数字王国的基本“原子”:每个整数都可以按照因子的顺序以独特的方式分解为质数幂的乘积。另一方面,它们以某种方式体现了不规则性,当我们消除了所有规则性的东西(即2、3等的倍数)时,这种不规则性仍然存在。复合数字。正是由于这种不规则性,素数很难掌握。

今天,有关质数的许多基本问题仍未得到解答,或者至少没有得到解答。这是最突出的三个:

质数如何在整数之间分配?是否有无限个双素数,即成对的(p,p + 2)形式的素数,例如5和7或11和13?两个偶数之和是否等于或大于4?

最后一个问题是哥德巴赫猜想。我们知道,这个猜想的例外(如果存在)必须是巨大的数字,但是当前方法似乎无法获得明确的答案。双素数猜想也是如此。

一个带有质数的新数学对象

关于第一个问题,它涉及质数的分布,我们有一定的结果。我们本质上应归功于瑞士科学家Leonhard Euler(1707-1783)提出的一个想法:我们构造了一个新的数学对象,每个质数(无穷大)都有贡献,然后尝试对其进行分析。尽可能完整。该对象现在称为函数zeta(zeta是希腊字母z),并通过以下方式定义:

 

 

 

换句话说,我们将所有整数n加到s的幂上,其中s是当前任何实数,我们取反数并加(如我们将看到的,我们可以从仅质数)。符号S(大写希腊字母sigma)是总和的通常缩写。

这样定义的总和包括项的无穷大,并不总是给出有限的值。该总和必须更严格地定义为限制,并且此限制并不总是存在。如果我们以s = 1为例,则得到所谓的谐波序列

 

 

趋于无穷大。如果我们选择s < 1, chaque terme de la somme est plus grand que pour s = 1, la somme est donc a fortiori infinie. Mais si s > 在图1中,级数取一个有限值,我们说它收敛了。

La propriété cruciale de la fonction z(s) est qu'on peut l'exprimer, du moins pour s > 1, comme un produit infini de termes correspondant chacun à un nombre premier. En effet, on a (voir l'encadré ci-dessous) :

 

 

 

 

大写pi P表示连续项的乘积。它在这里与所有质数p有关,在这种情况下被称为欧拉积。

从黎曼到zeta函数

实际上,可以将zeta函数扩展为与任何实数关联的函数,该函数具有确定的唯一值。在特定情况下,该值的计算也会产生有趣的结果;例如,欧拉的另一个壮举是惊人的配方(请参见第12页的侧栏):

 

 

但是,在这里让我们感兴趣的不是这些特殊的价值观。而是将有关质数的断言转换为zeta函数的属性的问题,因为有了此函数,就可以使用庞大的工具箱。以这种方式可用的许多方法包括推导和积分,但最重要的是复杂分析的工具库。

黎曼的主要思想是不再仅将z(s)作为实变量s的实函数来研究,而不再将其作为复数变量的函数来研究(请参阅对页的侧栏)。函数的初始定义保持不变,但是变量s现在可以采用复杂的值。诸如n之类的术语 s 具有复数指数的将被定义为exp(s ln n),在指数域中的指数(exp)和对数(ln)函数由一系列整数次幂定义;例如,对于任何复数z,我们都有:

exp(z)= ez = 1 + z / 1! + z2/ 2! + z3/ 3! + ...

在这个复杂的数字扩展名中,有些事情几乎不变。欧拉级数收敛于大于1的实数;现在,该条件变为s的实数部分(表示为Re(s))大于1。在实线上,点1是阻碍级数收敛的障碍。在复数平面中,此障碍是所有复数的线,其实部为1。

但是复数也提供了从另一个角度看由欧拉级数定义的函数的可能性。该过程称为“分析扩展”,通常用于复杂的分析中。就像欧拉(Euler)将该系列作为产品的表示一样,黎曼(Riemann)为zeta函数找到了另一个表达式,该表达式提供与先前定义的函数相同的值,但同时也分配了有限的值。对于s的所有其他复数值,除了s = 1。

在复平面上绕过奇点

对于zeta函数,值s = 1是数学家所谓的奇点。这里的函数不可避免地取无穷大的值。当我们将自己限制在物权之上时,奇异性便构成了不可逾越的障碍。但在飞机上,人们可以绕开它。

为了更好地理解zeta函数,Riemann调用了另一个函数,该函数最初也定义在复杂平面的一部分上,并且还可以通过解析扩展将其扩展到几乎整个平面:伽马函数(G)。这泛化了阶乘函数,也就是说,对于任何正整数n,它都满足:

G(n)= n! = n(n-1)(n-2)…2。 1个

连接zeta和gamma的函数方程

对于不同于0,–1,–2,–3等的所有复数,伽马函数采用有限值。使用函数论的技术,Riemann获得了zeta函数和gamma函数之间的以下关系:

 

 

 

这样的方程式将不同点处的函数值链接在一起,称为函数方程。上面的函数方程具有一个特殊的属性:如果将s替换为1-s不变,反之亦然。换句话说,它与点s = 1/2对称。此外,由于相关函数在反射过程中与实轴相比保持不变(除了“复杂的共轭”,即随着i在-i close中的变化),我们有关于实部的复数线等于1/2的对称性。该对称轴称为临界线。

提到的对称性具有有趣的后果。如上所述,在s的实部大于1的情况下,我们直接知道zeta函数。因此,我们知道z(s)那里不存在“零”,也就是说,函数不会消失的s的值,因为欧拉积的所有因子都不等于零。由于函数方程,我们可以将这些知识转置到复杂平面的左侧。

由功能方程式揭示的琐碎零点

让我们举个例子。出现在函数方程左侧的因子G(s / 2)在点s = 0,–2,–4等处取无穷大。但是,如果人们选择这些值中的一个(对于自然数n,s = –2n),则函数方程的右侧给出的是有限的而不是零的表达式。这怎么可能 ?唯一的可能性是z(s)在这些点上消失,因为函数方程中的所有其他因素都不为零。因此,我们推断出,对于s = –2,–4,–6等,z(s)= 0。 s的这些值是zeta函数的“平凡零”。这是唯一的零,其实部为负。另一方面,点s = 0不是零,因为z(1- s)给出奇点z(1)。

对于所有具有大于1的实部的s,如欧拉积表示所示,不存在其他零。因此,只有在实部的复数在0和1之间的窄带(“临界带”)中才能找到其他零。黎曼的著名假设就是在这些“非平凡的”零上。

黎曼猜想,存在zeta函数非平凡零点的无穷大。关于他们的位置,他提出了两个具体的主张。一个问题涉及它们的垂直分布:虚数部分(也就是说,在实轴上方的高度)在0和T之间的零个数N(T)为:

当T足够大时,误差项相对于T较小。尽管里曼本人给出了证明的想法,但直到30年后的1893年,汉斯·冯·曼戈特才充分证明了这一主张。后者还表明,校正项最多为lnT量级。

非平凡的零在哪里?

至于第二个断言,它涉及水平零的分布。黎曼断言,非平凡的零点只能在临界带的中间,即临界线上找到。换句话说,非平凡的零的实部为1/2。正是这一断言构成了黎曼猜想。

为什么我们对zeta函数的零值如此感兴趣?因为它们提供了素数分布的信息。更准确地说,它是一个公式,用于评估所有小于x的质数的数p(x)。高斯已经猜想p(x)。 x / ln x,他后来将其提炼为p(x)的公式。 li(x),其中li(x)是“积分对数”,由li(x)=#2x du / ln u定义。标志 。此处的意思是“除了校正项,对于x足够大,校正项比li(x)小”。此校正项越小,公式的精度越高。

但是黎曼成功地改进了高斯对p(x)的预测。他的思想的核心是乘积的第二种表示形式,它本身是由多项式理论产生的,也就是说,形式为以下函数:

f(s)= a0 + a0s + a2s2 + ... +年n

具有复数系数ai和度数为n(n是相应系数不为零的最高幂)的多项式正好具有n个复数零或“根”-这是代数的基本定理。如果0本身不是多项式的根,我们可以将其写为(1-s / s1)(1-s / s2)...(1-s / sn)的形式,其中si是根并且具有适当的常数。

zeta函数当然不是多项式。但是黎曼也设法将其记为(1--s / r)形式的因子乘积,其中r贯穿非平凡零,并带有一些其他成分:

 

 

 

 

其中A和B是常数。在左侧,我们找到功能半方程而不是z(s):将其乘以(s-1),以消除点s = 1的奇点。

黎曼能够获得此公式,但无法证明它。直到1893年,法国数学家雅克·哈达玛(Jacques Hadamard)才实现了这一目标,而他在该问题上的一般成果现在成为复杂分析的重要组成部分。

质数的新公式

因此,黎曼用乘积具有两种相同功能的不同表示:欧拉乘积和上述公式。通过比较它们,他获得了质数p(x)函数的显式公式(请参见对页的侧栏)。但是这个公式还需要等待数十年,才能在1895年被汉斯·冯·曼戈特(Hans von Mangoldt)证明。

黎曼的思想和猜想激发了这一方向的研究,并为复函数理论的新兴领域注入了活力。这些努力最终获得了成功,并由哈达玛和查尔斯·德拉瓦莱·普桑在1896年同时但独立地证明了高斯猜想,即今天的“素数定理”。

为了证明这一点,我们必须确保zeta函数在临界带的足够大的部分中不包含零。 Helge von Koch在1900年展示了以下财产。让我们在临界带中放置一条垂直线,该垂直线与实轴相交,其值a在1/2和1之间。如果zeta函数在该线的右边没有零,则定理中的更正项质数是x的数量级 a 反之亦然(准确地说:校正项中的指数不是a,而是一个高一些,只要我们想要的数字)。

特别地,误差项的数量级不能小于x1/2,因为z(s)在临界线上为零。如果黎曼猜想为真,则误差项极小,因此质数分布尽可能均匀。

黎曼假设对数学的重要性几乎不能被夸大。数以百计的文章讨论了它的后果,并假设它是真实的,已经获得了重要的结果。因此,在实践中有重要的密码方法,其安全性取决于黎曼猜想的有效性。

大多数数学家认为Riemann假设是正确的,特别是出于审美原因(Zeta函数的零位中的阶的概念很令人愉快),或者是因为Riemann是超前的天才他的时间,他对此深信不疑。

尝试从物理上证明

令人惊讶的观察为最近的研究提供了动力。对zeta函数的许多非平凡零点的统计估计揭示了类似于在数学物理学中研究的随机矩阵特征值的模式(矩阵是用于表示线性映射的数字数组,以及适当的”是代表其特征的数字)。

这些观察结果与希尔伯特(Hilbert)以及匈牙利数学家乔治·波利亚(GeorgePólya)于1930年代表达的某些观点相吻合,这些观点已经取得了丰硕的成果:挪威的阿特尔·塞尔伯格(Atle Selberg)因此在1950年左右发现了“痕迹公式”与函数p(x)的黎曼公式非常相似,并且可以证明另一类zeta函数的黎曼猜想的类似物。但是就黎曼假说本身而言,到目前为止,此类尝试尚未提供任何结果。

自2000年以来,根据布里斯托大学的Jon Keating和Nina Snaith的想法,使用随机矩阵对临界线上的zeta函数进行建模。基于这些完全不同的对象之间的类比,数学家提出了猜想,希望这将为为黎曼猜想提供确定的答案提供其他途径。

Une autre tentative un peu plus facile à saisir fait appel à une étonnante propriété d'approximation de la fonction zêta. En 1975, le mathématicien russe Serguei Voronin prouva que la fonction zêta peut approcher aussi précisément qu'on le veut n'importe quelle fonction (suffisamment régulière) sur un petit domaine. C'est le « théorème d'universalité de Voronin ». Explicitons un peu ce résultat spectaculaire. Soit une fonction f(s) définie sur un petit disque K, situé n'importe où dans la moitié droite de la bande critique. Supposons que f n'ait aucun zéro dans K et qu'elle y soit analytique (développable en série de puissances entières). Alors pour tout e > 0, aussi petit soit-il, il existe un nombre réel t > 0 tel que la différence entre z(s + it) et f(s) soit inférieure à e en valeur absolue, et ce pour tout s de K. En d'autres termes, on peut trouver t tel que z(s + it) soit aussi proche que l'on veut de f(s).

我们甚至表明,存在一个无穷大的数字t,以验证给定函数f和给定数字e的近似值。因此,zeta函数在其值中包含有关所有这些函数f的信息。有点像是包含所有可能映射的地图集。这就是为什么我们通过说“谁知道zeta函数知道世界”来总结沃罗宁的普遍性定理的原因。 ”

普遍性和自我相似性

反过来,此通用性属性提供有关zeta函数本身的信息。如果确实Riemann猜想是正确的,即z(s)的所有非平凡零都在临界线上,我们可以将普遍性定理应用于z(s)并将其结果,zeta函数会自我逼近-我们推断出它是自相似的,分形也是一样(几何图形,无论选择哪种放大倍数,几何图形都保持相同的外观)。相反,如果证明zeta函数是自相似的,则将遵循Riemann猜想的有效性。

丹麦数学家Harald Bohr(物理学家Niels Bohr的兄弟)是1920年这一观测的起源。但是,由于缺乏普遍性定理,他无法给出证明。这是由印度数学家Bhaskar Bagchi在1980年代初期提供的。

黎曼猜想的许多其他重新制定如今已广为人知,但有一个证据似乎像以往一样遥不可及。当然,如果猜测是错误的,找到一个反例就足够了。数学家也在朝这个方向发展。明尼苏达大学的安德鲁·奥德利兹科(Andrew Odlyzko),阿姆斯特丹的计算机科学研究中心的赫尔曼·特·里尔(Herman te Riele)等人,到目前为止,已经计算出了超过1000亿个zeta函数零。临界线Re(s)= 1/2。

但是这些数值检验并不构成黎曼假设的证据。面对无穷无尽的数字,人类的推理能力和计算机可以访问的只是大海的一小部分。

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