数学ématiques

42号的秘密

多么平淡的数字如何吸引é l’科幻爱好者的关注, 极客...然后数学ématiciens.

让·保罗·德拉海 科学N°508
42

L’本月的文章是étrange car son thè一开始,您似乎缺乏érieux, avant qu’un de 他的 aspects inattendus ne surgisse 和 显示e 一种nouvelle 时间 que tout sujet mathéMatique可能会碰撞à使其成为int的障碍éressant. 

每个人é证明了对非r业务的迷恋é就像罗伯特·布林部长去世或泽维尔·杜邦·德·利贡(Xavier Dupont de Ligonn)失踪一样ès. Cela reste vrai même si à l’origine il n’y a qu’une blague, comme c’在科幻小说中就是这种情况 银河背包客指南,以英文出版 1979年。作者道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)在本文的最后部分提到了这一点。œuvre que la réponse à la 关于生活的大问题,我’宇宙和其他一切都是 42 (« 生命,宇宙和万物的终极问题的答案是42 »). 

这第一本小说’une série de cinq é唤起了超强大的计算机, 计算为7.5 millions d’années, finit par répondre « 42 » à ceux qui l’问有关生命的终极问题’宇宙以及介于两者之间的所有事物。字符ré不幸的是,éponse 不要ée à l’issue du premier récit n’est pas trè有用,因为问题n’a pas été 形成ulée de maniè非常清楚和公关écise. L’ordinateur ré一边寻找合适的人énoncé谁的问题éponse 东 42,他将不得不建立自己的新版本。ê我,这需要一些时间。这个新版本的’电脑就是地球……还有康纳î要遵循,您将必须阅读’Adams. 

我的选择’auteur du nombre 42 东 devenu un élé文化的中心 极客。它是à l’origine d’大量的笑话或眨眼’œil échangés entre initiés。例如,如果您问à您的搜索引擎(法语)çais或用英语)是什么éponse à la « 关于生活的大问题,我’univers 和 le reste », il vous répondra très probablement : « 42 ». C’例如Google,Qwant,Wolfram Alpha,spécialisé dans les problèmes de calculs mathé数学,也’Clerverbot对话助手。 

的établissements privés d’计算机教育« écoles 42 » ont été créés à partir de 2013年及其名字été choisi en référence aux romans de Douglas 亚当斯。 Le développement à l’étranger de nouveaux « campus 42 » 东 prévu à以每年十个的速度。号码 42 apparaît aussi sous diffé电影中的年金形式 蜘蛛侠 : New Generation。你会发现répertoriées 一种multitude d’其他故意出现和暗示à 42,例如在’article « La 关于生活的大问题,我’univers 和 le reste » de Wikipédia.

Plus bizarrement, 可能s cette 时间 ce sont des coïncidences dont il serait vain 从rechercher le sens, il a été remarqué, parmi bien d’autres choses, que :

– dans l’É古埃及,在审判期间’âme, le mort devait déclarer devant 42 juges ne pas 具有commis 42 péchés [见l’article « Jugement de l’âme (Égypte 蚂蚁ique) » de Wikipédia] ;

– la distance à parcourir lors d’马拉松是42195 kilomètres, car c’是希腊使者Philippid的距离ès a parcourue en 490 avant notre è在马拉松和Ath之间ènes pour 安oncer la victoire contre les Perses. Le fait qu’à cette époque le 公里ètre n’était pas défini ne doit qu’accroître notre étonnement ;

– il y aurait eu 42 empereurs tibé一些旧的。 Nyatri Tsenpo,谁égna vers 127 在我们之前è关于,是第一个,而Langdarma,égna de 836 à 842, le dernier (请参阅l’article « 西藏皇帝名单 » de Wikipedia) ;

–古腾堡的圣经,第一本印刷书é在欧洲,有42 逐行的文字行是d’ailleurs dénommée « Bible latine à四十二行 » ;

– dans l’actualité, 42 东 号码 从régimes 从retraite qui seront réformés en France (www.monde-diplomatique.fr/2019/05/MARTY/59866)。

任意选择

我是否有问题’utilisation de 道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)的小说中的42在他看来对他有特殊的意义。ûr été posée. Sa réponse 东 sans appel : « C’é是个笑话。它必须ê成为一个普通数字而不是ôt petit, 和 j’选择了这个。代表é二元感情,基础 13, les moines tibé有些是胡说八道。我坐了下来à mon bureau, j’ai regardé在花园里,我对自己说‘‘42 ira’’ 和 je l’ai écrit. »

L’é基础2的职业来自什么 42 s’écrit dans le systè二进制我101010,这是非常简单的’其他地方有缺点équence que certains 极客 做了fête le 10 octobre 2010 (10-10-10). L’évocation de la base 13 dans sa réponse s’explique d’une manière plus indirecte. À好几次,小说évoque que 42 serait la réponse à la question « combien font 6 fois 9 ? ». Bien sûr, c’很荒谬,因为6 × 9 = 54 ...但恰恰是在基地 13, 号码 s’écrivant 42 vaut 4 × 13 + 2 = 54. 

À côté计算机科学家为s自愿引入的事件’玩得开心,约会é与数字同住 42当我们在’历史或世界上,我们可以ême se demander si 42 从数学的角度来看是一个特殊的数字ématiques.

数学é完全单数?

Voici 一种liste de quelques propriétés mathématiques de 42。

• 42是三个首字母的和è2 d的幂’exposant impair (21 + 23 + 25 = 42). La suite a(n的2的奇次幂之和是l的序列A020988’encyclopédie des suites numé尼尔·斯隆(//oeis.org)。在基地2 n-ième élément s’é暴击1010 ... 10« 10 » répété n fois, 和 sa 形成ule 东 a(n) = (2/3)(4n – 1). Quand n augmente, la fré这些数字的频率趋于zéro,表示属于的数字à这个名单,所以42他自己ê我,非常稀有。

• 42是两个premi之和è6 d的幂’exposant non nul (61 + 62 = 42). La suite b(n的6的幂和是l的序列A105281’encyclopé斯隆死了她是é用公式完成 b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6. La fré这些数字也倾向于 0 à l’infini. 

• 42是加泰罗尼亚语数字。加泰罗尼亚语数字有été mentionnés,用另一个名字,第一个ère 时间 par Leonhard Euler, qui voulait connaître 号码 de façons différentes de dé将凸多边形切成几个三角形à n côté通过按线段连接顶点来实现。 dé序列的目标(尼尔·斯隆的A000108)为1、1、2、5、14、42、132,... c(n) = (2n)!/(n! (n+1)!) 不要e le n-iè此数字序列的项,其密度é,就像两个公关écédentes, 东 nulle à l’infini.

序列中的数字 c(n) sont 名称és en l’honneur du mathé法兰克-比利时数学家Eugè尼·查尔斯·加泰罗尼亚(1814-1894),谁écouvrit que c(n) est 号码 de façons de disposer n paires de parenthè它尊重règles habituelles d’écriture des parenthèses : jamais 一种parenthèse n’est fermée avant d’avoir été打开,我们不能关闭父母è只有当所有那些开放以来’elle a été他们是开放的吗êmes fermées.

例如, c(3) = 5因为可能的安排3 paires de parenthèses sont : ((())) ; ()()() ; (())() ; (()()) ; ()(()).

号码 c(n) 东également 号码 d’二叉树 n + 1 feuilles. C’est aussi 位于网格上的向上旅行的次数és sous la premiè再对角线。这个性质été允许了解définition par ré加泰罗尼亚语序列的出现, c(0) = 1 c(n + 1) = Σ c(k)c(nk),与 k 从 0 à n。确实,对于dénombrer 号码 de chemins allant jusqu’à l’abcisse n + 1, on considère un point 整型ermé日记,尽可能低,接触对角线 ; ceux avant (strictement en dessous de la diagonale) 不要ent c(nk),之后的ès (en dessous au sens large de la diagonale) 不要ent c(k).

加泰罗尼亚语数字

加泰罗尼亚语数字 是extrêmement
稀有,远远超过质数 :这些数字中只有14个是inférieurs
à 1 十亿。他们的续集从 :

1、1、2、5、14、42、132、429、1 430, 4 862, 16 796, 58 786, 208 012, 742 900, 2 674 440, 9 694 845, 35 357 670, 129 644 790, 477 638 700, 1 767 263 190, 6 564 120 420, 24 466 267 020, 91 482 563 640, 343 059 613 650, 1 289 904 147 324, 4 861 946 401 452, 18 367 353 072 152, 69 533 550 916 004, 263 747 951 750 360, ...

数42est 号码 de Catalan c(5)。这尤其意味着’il y a 42 façons de placer 5 paires de parenthèses correctement (在) :一对永远不会在d之前关闭’avoir été打开,直到所有从’elle a été ouverte sont elles-mêmes fermées.

这也意味着如果’我们给自己一个c的网格ôté 5,接着ôtés des carré,我们想加入下角à左上角à就在不剪对角线,从不下来的情况下,有42个 façons de le faire (b).

从même, 号码 d’arbres binaires à 6 feuilles 东 42 (vs),le nombre de façons de paver le côté d’矩形的5步楼梯是42 (d) 和 号码 de façons de découper un heptagone ré几个三角形的古里尔 通过参加峰会是42 (e).

©科学

– 42 东 un nombre « pratique »,表示1到m之间的任何整数ême 东 somme de certains de 他的 diviseurs (distincts). Les premiers nombres 方便s sont 1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72 (suite A005153 de Neil Sloane). 我们不e connaî没有简单的公式给出 n-iè这间套房的尽头équence limite de 他的 termes semble cette 时间 positive.

这一切都很有趣,但是说42确实是出色的数学方法是错误的。é数学的。例如,数字41或43也属于à de nombreuses sé笑了要探索这些问题,请使用链接 //fr.wikipedia.org/wiki/42_(nombre) 取代它çant 42 par 号码 qui vous 整型éresse. 

问题è我知道哪个数字更具体èrement 整型é感觉或更特别èrement inintéressants a été étudié由Hector Z的Nicolas Gauvrit提供énil 和 moi-mê我从R Suite开始épertoriées Neane Sloane在其百科全书中的文章é死。除了链接é复杂的口头é的Kolmogorov(数字intéreants是那些至少’une description brève), il a été 显示é文化效应é对l保留的数字有效’encyclopé尼尔·斯隆(Neil Sloane)的死,因此除了’une 百科全书édie fondé纯粹出于客观é mathématique (见参考书目)。

从数字42到问题ème 三个立方体的总和!

计算机科学家和数学ématiciens savent l’attrait du nombre 42,一直想é que c’é是一个简单的游戏’我们可以很容易地带领另一个数字。剩下全部même un élément récent d’actualité逗乐了他们很多és. 号码 42 a réellement 不要é更多线程à比所有其他数字调整érieurs à 100 dans le problème des 3 cubes.

问题ème des 3 cubes s’énonce ainsi :

什么是整数 n que l’on peut é写为d’une somme de trois cubes 整数, n=a3+b3+c3 ? Et, quand c’是这种情况,如何找到a,b和c?

难点é, même sur un plan 方便 pour mener des calculs, provient de ce que, pour un n 不要é, l’espace des triplets à探索涉及整数né原始人。因此,该空间是无限的,其中n’当我们不是这样的时候’inté求平方和és :以这样的平方和és 不要ant n,每个方块é a 一种valeur absolue 信息érieure à ℘∠n。 d’ailleurs, pour 平方和és,我们非常清楚什么是可能和不可能的。

对于多维数据集,我们发现了意外的解决方案trè很大,就像 156, découverte en 2007 :

156 = 265771108075693 + (− 18161093358005)3 + (− 23381515025762)3.

首先ère chose à noter pour qui s’inté三个立方体的总和是,对于l的某些值’entier 不, l’équation n = a3 + b3 + c n’a pas de solution. C’est le cas pour tous les 整个s n de la 形成e 9m + 4 和 9m + 5(例如4、5、13、14、22、23)。 Dé这种说法的证明很简单。我们使用计算« modulo 9 », qui revient à supposer que 9 = 0 和 à ne manipuler que des nombres entre 0和8 ou entre – 4 和 + 4. 

我们看到了’abord que : 03 = 0 (mod 9) ; 13 = 1 (mod 9) ; 23 = 8 = – 1 (mod 9) ; 33 = 27 = 0 (mod 9) ; 43 = 64 = 1 (mod 9) ; 53 = (– 4)3 = – 64 = – 1 (mod 9) ; 63 = (-3)3 = 0 (mod 9) ; 73 = (– 2)3 = 1 (mod 9) ; 83 = (– 1)3 = –1 (修改 9).

换一种说法 : modulo 9, le cube d’整数是– 1 (= 8),0或1。但是l’从0、1和3中选择的三个数字相加– 1 不要e :

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (– 1) ; 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (– 1) ; 

2 = 1 + 1 + 0 ; 3 = 1 + 1 + 1 ; 6 = – 3 = (– 1) + (– 1) + (– 1) ; 

7 = – 2 = (– 1) + (– 1) + 0 ; 8 = – 1 = (– 1) + 0 + 0 = 1 + (– 1) + (– 1).

我们不’永远不会得到4或5(= – 4)。这意味着三个立方体的总和永远不会是形式为9的数字m + 4 ou 9m + 5. Nous dirons que n = 9m + 4 和 n = 9m + 5 sont des valeurs 整型erdites.

recherche des solutions, en 方便 

为了显示à寻找多少解决方案’équation n = a3 + b3 + c3 东 dé连接,让我们指出发生了什么 n = 1 和 n = 2.

对于 n = 1,有解决方法évidente 13 + 13 + (– 1)3 = 1. 

有没有’autres ? Oui :

93 + (– 6)3 + (– 8)3  = 729 + (– 216) + (– 512) = 1。

这个n’不是唯一的一个,因为在1936年,数学é德国数学家Kurt Mahler谈到é 一种信息inité解决方案。对全部 p :

(9p4)3 + (3p − 9p4)3 + (1 − 9p3)3 = 1。

我们证明é用l侮辱’identité remarquable : (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3 AB2 + B3.

Un ensemble 信息ini de solutions 也是 connu pour n = 2 ; il a été découvert en 1908 par un certain A. S. Werebrusov. 对于 tout 整个 p :

(6p3 + 1)3 +(1 − 6p3)3 + (− 6p2)3 = 2。

通过将这些的每一项相乘égalités par le cube d’un 整个, r3, 星期三éduit qu’还有一个无限é任何立方体的解决方案’整数d的任意整数’un 整个.

例如,对于16,这是2的立方的两倍,我们有 : 143 + (– 10)3 + (– 12)3 = 16

让我们也指出 n = 3,我们八月份不知道ût 2019只有两种解决方案 :

13 + 13 + 13 = 3和43 + 43 + (– 5)3 = 3。

然后自然而然地à l’esprit la question : existe-t-il des solutions pour toutes les valeurs non 整型erdites de n ?

工作中的计算机

对于Répondre, on a commencé然后按照以下取非禁止值1,2,3,6,7,8,9,10,11,12,15,16 ...(Nil Sloane的A060464)。é一一学习。如果这些都不étudiées ne se révè不可能的事,我们将有理由对所有人 n 谁’est pas de la 形成e n =9m +4或 n =9m +5,有解决方案à l’équation n = a3+ b3+ c3.

研究人员ées,取决于计算机的功率或éseaux d’ordinateurs utilisés, ont 不要é 那些érie 从ré越来越多的结果。他们是去的人à新的引导我们到了著名而有趣的数字 42.

2009年,Andrea-Stephan Elsenhans和Jörg Jahnel,使用méthode proposée par Noam Elkies en 2000, ont exploré tous les triplets a,b,c d’entiers de valeur absolue 信息érieure à 1014 寻找解决方案 n compris entre 1和 1000。Leur 项目concluait que la question de l’existence d’数字表达式的解决方案érieurs à 1000仅对33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921和975开放。

对于 les 整个s 信息érieurs à 100, seules trois é因此仍然存在困惑 : 33, 42 和 74.

2016年,桑德·豪斯曼(Sander Huismen)迈出了一步’exploration 和 trouva 那些olution pour 74:(–284650292555885)3 + (66229832190556)3 + (283450105697727)3

然后仅剩下33和42 n 信息érieurs à100.2019年3月,安德鲁·布克(Andrew Booker)égla le cas de 33 : (8866128975287528)3 +(− 8778405442862239)3 +(− 2736111468807040)3。 dès lors, 号码 de Douglas Adams é是最后一个正整数和inférieur à我们不知道的100’il pouvait s’écrire comme 那些omme de trois cubes d’entiers. 

如果réponse avait été né坦率地说,我们会有数学上的原因ématique vraiment sé笑给’importance à 42 ; il aurait été第一个数字可能是三个立方体的和’aurait pas été。电脑挣扎é, 可能s ils ont déçu ce bref espoir.

三个立方体之和的猜想

Dé目标2019年9月,42était l’最小且唯一的正整数inférieur à 我们不知道的100’il é是三个立方体的总和’entiers. 

安德鲁·布克(Andrew Booker),来自’université 来自英国布里斯托尔,来自麻省理工学院的安德鲁·萨瑟兰,États-Unis, ont utilisé le systè慈善引擎计算工具进行énorme calcul d’exploration équivalent à plus de 1 million d’heures de calcul d’当前的台式计算机。 Une solution a été trouvée :

42 =(– 80 538 738 812 075 974)3 + 80 435 758 145 817 5153 + 12 602 123 297 335 6313.

系统è慈善引擎计算器可协调500多个 000 志愿者的个人机器。他让他们在瞬间工作 où elles sont inutilisées, ce qui permet
从réaliser d’énormes calculs à moindre coût。慈善引擎从根本上讲é sur un programme de l’université de Berkeley 和 géré par la société全球计算机公司。 

家用计算能力é该项目的计算机出售给了大学。é和企业。 bénéfices sont versés à慈善或服务 à组织抽奖活动ériodiques pour ré补偿参与者éseau. La puissance de calcul non achetée 东 attribuée à各种IT项目。

même mé雷德也带领 à dé掩盖意外的表情 de 3作为三个立方体的总和 :

3 = (– 472 715 493 453 327 032)3 +(– 569 936 821 113 563 493 509)3 + 569 936 821 221 962 380 7203.

唯一的整数inférieurs à 1 000,我们现在不知道’它们是三个立方体的总和,分别是114、390、579、627、633、732、921和975。

©慈善引擎

ré答案是在9月 2019. Ce fut le résultat d’协调的巨大计算é par Andrew Booker 和 Andrew Sutherland. 的ordinateurs participant au ré慈善引擎D铲斗’个人计算机在计算期间’équivalent de plus 从1起 million d’heures découvrirent que :

42 =(– 80538738812075974)3 +
804357581458175153 + 126021232973356313

整数165、795和906的情况为été aussi résolus récemment. Il ne reste donc que les cas 从1起14, 390, 579, 627, 633, 732, 921 和 975 à ré整数inf的glerérieurs à 1 000.  

猜想’有所有的解决方案 n 谁e sont pas de la 形成e 9m + 4 ou 9m + 因此似乎已确认5。在 1992年,罗杰·希思·布朗(Roger Heath-Brown)é一个更强的推测认为 n 可能,存在无限é de façons de les écrire comme somme de trois 立方体。 Le travail 东 donc loin d’être terminé. 

难点é du problème apparaît é标准,这表明问题ème « n 东-il 那些omme de trois cubes ? » pourrait être indé可以。换句话说,可能是’没有一种算法(无论多么聪明)能够处理所有可能的情况。 VS’est le cas pour l’arrêt节目,艾伦·图灵(Alan Turing)é en 1936 qu’没有任何一种算法可以处理所有这些问题。但是这里我们处于纯数字领域érique très simple à énoncer, 和 donc si l’on rrivait à证明这样的indécidabilité,这将是一个新颖é.

数42é很难,但不是’était qu’une étape !  

42号的秘密
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