数学ématiques

第42号的秘密

如何完美的平庸数字吸引é l’科幻爱好者的关注, 极客......然后是数学ématiciens.

Jean-Paul Delahaye 对于Science N°508
42

L’本月是étrange car son thè似乎对我来说,起初缺乏érieux, avant qu’他的意外方面的一个不会出现并再次显示任何数学主题ématic可以突出à使它int的障碍éressant. 

每个人é证明了对非商业业务的魅力é土壤,就像罗伯特·布尔辛的死亡那样或Xavier Dupont de Ligonn的消失ès. Cela reste vrai même si à l’origine il n’y a qu’une blague, comme c’科幻小说中的情况是如此 银河背包客指南用英语发布 1979年。道格拉斯亚当斯,他的作者,提到了这一点œuvre que la réponse à la 关于生活的大问题,l’宇宙和其他一切都是 42 (« 终极生活问题的答案,宇宙和一切都是42 »). 

这首新颖d’une série de cinq é参考超电镀计算机 计算7.5 millions d’années, finit par répondre « 42 » à ceux qui l’关于终极问题的问题,l’宇宙和其他一切。人物R.éaliz,不幸的是,réponse donnée à l’issue du premier récit n’est pas trè使用有用的问题,因为问题n’a pas été formulée de maniè很清楚和公关écise. L’ordinateur ré终极找到右边énoncé问题的问题éponse est 42,它必须建立一个新版本的IT-Mê这需要时间。这个新版本的’电脑是地球......而且知道î如下,你必须阅读的作品’Adams. 

这个选择的选择’auteur du nombre 42 est devenu un élé中央文化 极客。这是à l’origine d’众多的笑话或丛’œil échangés entre initiés。例如,如果你问à您的搜索引擎(法文çais或英语)r是什么éponse à la « 关于生活的大问题,l’univers et le reste », il vous répondra très probablement : « 42 ». C’例如,谷歌,Qwant的案例,用于Wolfram Alpha,SPécialisé dans les problèmes de calculs mathéMatics,但也为’Clerverbot对话框助理。 

的établissements privés d’计算机教育« écoles 42 » ont été créés à partir de 2013年,他们的名字明显了été choisi en réfé对道格拉斯亚当斯的小说。 D.éveloppement à l’étranger de nouveaux « campus 42 » est prévu à十年的原因。数字 42 apparaît aussi sous diffé在电影中形成 蜘蛛侠 : New Generation。你会发现répertoriées une multitude d’其他自愿事件和暗示à 42,例如在’article « La 关于生活的大问题,l’univers et le reste » de Wikipédia.

更奇怪,但这一次是有限公司ï寻找意义的纽约是徒劳的,他有été remarqué, parmi bien d’autres choses, que :

– dans l’É古老的吉普,在判断过程中’âme, le mort devait déclarer devant 42 法官没有犯下42 péchés [看看’article « Jugement de l’âme (Égypte antique) » de Wikipédia] ;

– la distance à parcourir lors d’马拉松是42,195 kilomètres, car c’是希腊信使菲律宾的距离ès a parcourue en 490 avant notre è在马拉松和雅典之间è宣布对波斯人的胜利。事实如此’à cette époque le kilomètre n’était pas défini ne doit qu’accroître notre étonnement ;

– il y aurait eu 42 empereurs tibé旧塔。 Nyatri Tsenpo,谁régna vers 127 avant notre èRe,是第一个,兰德玛,谁是谁égna de 836 à 842, le dernier (看’article « 西藏皇帝名单 » de Wikipedia) ;

–古腾堡圣经,第一本印刷书é在欧洲,有42岁 按列的文本线条和d’ailleurs dénommée « Bible latine à四十二行 » ;

– dans l’actualité,42是r的数量é将是r的养老金谷éformés en France (www.monde-diplomatique.fr/2019/05/marty/59866.

任意选择

是否是的问题’utilisation de 42在道格拉斯亚当斯的小说中有一个特殊的意义ûr été posée. Sa réponse est sans appel : « C’é是个笑话。它是ê是一个普通的数字和高兴ôt petit, et j’我选择了这一点。代表é二进制分组,基础 13, les moines tibé只是坏生物。我坐了下来à mon bureau, j’ai regardé在花园里,我告诉自己‘‘42 ira’’ et je l’ai écrit. »

L’é基地2的职业来自于什么 42 s’écrit dans le systè二进制101010,这很简单,d’其他地方杰出équence que certains 怪人 做了fête le 10 octobre 2010 (10-10-10). L’évocation de la base 13 dans sa réponse s’explique d’une manière plus indirecte. À几次,小说évoque que 42 serait la réponse à la question « combien font 6 fois 9 ? ». Bien sûr, c’是荒谬的,自6  × 9 = 54 ......但准确地,在基础上 13, le nombre s’écrivant 42 vaut 4 × 13 + 2 = 54. 

À côté计算机科学家自愿推出的发生’娱乐,和会议é与数字的可爱 42到处寻找’历史或世界,我们可以ême se demander si 42 是严格数学观点的特定数量ématiques.

数学é奇异的奇异?

这是一些属性的列表étés mathématiques de 42.

• 42是第一个第一个的总和ères 2 d的力量’exposant impair (21 + 23 + 25 = 42). La suite a(n)2的奇数力量的总和是延续的A020988’encyclopédie des suites numé尼尔斯洛安(//oeis.org)基地2,他的 n-ième élément s’éCRIT 1010 ... 10,有« 10 » répété n 时间,它的公式是 a(n) = (2/3)(4n – 1). Quand n augmente, la fré这些数字倾向于zéRO,这意味着属于的数字à这个名单,所以42自己ê我,非常罕见。

• 42是第一个的总和è6 d重新夺回’exposant non nul (61 + 62 = 42). La suite b(n)6的权力之和是延续的延续A105281’encyclopéDe De Sloane。她是D.é由公式完成 b(0) = 0, b(n) = 6b(n – 1) + 6. La fré这些数字也倾向于 0 à l’infini. 

• 42是许多加泰罗尼亚人。加泰罗尼亚人的数量été mentionnés,在另一个名字下,第一个名字èleonhard euler再次想知道ître le nombre de façons différentes de dé切成几个三角形凸多边形à n côté通过右侧段加入顶点。 D.é延续的目的(Neil Sloane的A000108)是1,1,2,5,14,42,132,...配方 c(n) = (2n)!/(n! (n+1)!)给 n-iè该序列的密度序列的术语é,就像这两个公关一样écédentes, est nulle à l’infini.

延续的人数 c(n)是Nommés en l’honneur du mathé曼迪佛教比利安eugè查尔斯加泰罗尼亚州(1814-1894),谁écouvrit que c(n) est le nombre de façons de disposer n paires de parenthè他尊重règles habituelles d’écriture des parenthèses : jamais une parenthèse n’est fermée avant d’avoir été打开,我们无法关闭括号è只有当所有这些都开放以来’elle a été打开本身就是êmes fermées.

例如, c(3) = 5因为3的可能规定 paires de parenthèses sont : ((())) ; ()()() ; (())() ; (()()) ; ()(()).

数字 c(n) 是également le nombre d’二元树佩戴 n + 1 feuilles. C’est aussi 到网格的旅程数量és sous la premiè对角线。这个性质été可以理解définition par ré以下加泰罗尼亚套房的条款的数量, c(0) = 1 c(n + 1) = Σ c(k)c(nk),与之相关的总和 k allant de 0 à n。的确,对于dé编号到达的路径数量’à l’abcisse n + 1, on considère un point intermé尽可能的最低,它触及对角线 ;之前(严格低于对角线)的那些 c(nk),那些后ès(低于对角线的广泛感)给予 c(k).

加泰罗尼亚人数

加泰罗尼亚人数 是极端的êmement
罕见,超过素数 :只有十四个数字是inférieurs
à 1 十亿。他们的套房开始了 :

1,1,2,5,14,42,132,429,1 430, 4 862, 16 796, 58 786, 208 012, 742 900, 2 674 440, 9 694 845, 35 357 670, 129 644 790, 477 638 700, 1 767 263 190, 6 564 120 420, 24 466 267 020, 91 482 563 640, 343 059 613 650, 1 289 904 147 324, 4 861 946 401 452, 18 367 353 072 152, 69 533 550 916 004, 263 747 951 750 360, ...

第42号est le nombre de Catalan c(5)。这意味着特别是’il y a 42 façons de placer 5 paires de parenthèses correctement (在) :一对永远不会关闭’avoir été开放,从来没有关闭所有这些开放以来’elle a été ouverte sont elles-mêmes fermées.

它也意味着如果是’我们给自己一个c的网格ôté 5,遵循côtés des carré小便器,我们希望加入底部的角落à留在顶部的角落à没有切割对角线而没有下降,有42 façons de le faire (b).

même, le nombre d’arbres binaires à 6 feuilles est 42 (vs),L.e nombre de façons de paver le côté d’矩形的楼梯为5个步骤为42 (d) 和 le nombre de façons de découper un heptagone ré在几个三角形中徘徊 加入峰会是42 (e).

©用于科学

– 42 est un nombre « pratique »,这意味着完全在1和他-m之间ê我来自一些除法者(独特)。第一实际数字是1,2,4,6,8,12,16,18,20,24,28,30,32,36,40,42,48,54,56,60,64,66,72 (Neil Sloane的A005153套房)。我们不知道î没有简单的公式给出 n-iè这个套件的术语和fré其术语限制似乎这次是积极的。

所有这一切都很有趣,但是说42在数学计划上非常出色是错误的éMatic。例如,数字41或43也是物品à de nombreuses sé。要探索这些问题,请使用链接 //fr.wikipedia.org/wiki/42_(nombre) en y remplaçant 42由您感兴趣的数字éresse. 

问题è你知道哪个数字更特别èrement inté感觉或更具体èrement inintéressants a été étudié由Nicolas Gauvrit,Hector Zénil et moi-mê从套房开始épertorié在他的eNcyclop中尼尔斯洛安斯é死。除了第一个éory复杂性ékolmogorov(int numbersé那些至少是d的’une description brève), il a été montré文化效果é对于所选的数字’encyclopéDe De Neil Sloane,因此是另一件事’une encyclopédie fondée在纯象果上é mathématique (看参考书目

第42页的问题ème 三维立方体的总和!

计算机科学家和数学ématiciens savent l’attrait du nombre 42,总是想到é que c’é是一个简单的游戏’我们本可以与另一个数字一样。仍然是ême un élément récent d’actualité谁有很多amusés. Le nombre 42 a réellement donné更多的线程à所有其他数字INF的硬度érieurs à 100 dans le problème des 3 cubes.

问题ème des 3 cubes s’énonce ainsi :

什么是整数 n que l’on peut é写作的形式’整数的三个多维数据集的总和,n=a3+b3+c3 ? Et, quand c’是这种情况,如何找到一个,b和c?

难度é, mê我在执行计算的实际计划中,来自什么,为a n donné, l’espace des triplets àExplorer涉及整数数字né。因此,这个空间是无限的,哪个’我们不是这样的情况’intéResse到Carr的总和és :在如此之款中és donnant n,每个Carr.é有一个绝对的价值inférieure à ℘∠n。 D.’在其他地方,对于Carr的总和éS,我们完全了解可能和不可能的事情。

在立方体的情况下,存在意外的解决方案TRè太棒了,就像一个人 156, découverte en 2007 :

156. = 265771108075693 + (− 18161093358005)3 + (− 23381515025762)3.

首先ère chose à noter pour qui s’inté三维立方体的总和是某些价值观’entier 不是, l’équation n = a3 + b3 + c n’a pas de solution. C’所有整数都是这种情况 n de la forme 9m + 4 et 9m + 5(例如4,5,13,​​14,22,23)。 D.é这个陈述的Monsstration非常简单。我们使用计算« modulo 9 », qui revient à supposer que 9 = 0 et à只处理0到8之间或之间的数字– 4 et + 4. 

我们看’abord que : 03 = 0 (mod 9) ; 13 = 1 (mod 9) ; 23 = 8 = – 1 (mod 9) ; 33 = 27 = 0 (mod 9) ; 43 = 64 = 1 (mod 9) ; 53 = (– 4)3 = – 64 = – 1 (mod 9) ; 63 = (-3)3 = 0 (mod 9) ; 73 = (– 2)3 = 1 (mod 9) ; 83 = (– 1)3 = –1 (mod 9).

换句话说 : modulo 9, le cube d’一个整数要么– 1 (= 8),0或1.金L’添加从0,1和1的三个数字– 1 donne :

0 = 0 + 0 + 0 = 0 + 1 + (– 1) ; 1 = 1 + 0 + 0 = 1 + 1 + (– 1) ; 

2 = 1 + 1 + 0 ; 3 = 1 + 1 + 1 ; 6 = – 3 = (– 1) + (– 1) + (– 1) ; 

7 = – 2 = (– 1) + (– 1) + 0 ; 8 = – 1 = (– 1) + 0 + 0 = 1 + (– 1) + (– 1).

我们不’永远不会得到4或5(= – 4)。这意味着三个立方体的总和永远不会是表格9的数量m + 4 ou 9m + 5. Nous dirons que n = 9m + 4 et n = 9m + 5是禁止的值。

r.echerche des solutions, en pratique 

为了显示à如何搜索l的解决方案’équation n = a3 + b3 + c3 是 dé搭配,表明发生了什么 n = 1 et n = 2.

为了 n = 1,有解决方案évidente 13 + 13 + (– 1)3 = 1. 

有没有’autres ? Oui :

93 + (– 6)3 + (– 8)3  = 729 + (– 216) + (– 512) = 1.

这’不是唯一一个,因为,1936年,数学é德国曼迪岛kurt mahler关于é une infinité解决方案。对所有人 p :

(9p4)3 + (3p − 9p4)3 + (1 − 9p3)3 = 1.

我们证明了ré苏丹使用L.’identité remarquable : (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3 ab2 + B3.

还已知一种无限的解决方案 n = 2 ; il a été dé1908年由某个A. S.S.Frusov涵盖。对所有人 p :

(6p3 + 1)3 + (1 − 6p3)3 + (− 6p2)3 = 2.

乘以这些术语égalités par le cube d’un entier, r3, 我们有éduit qu’还有一个无限的é任何立方体D的解决方案’Cube D的整数和双重’un entier.

例如,这是2的双方的双方,我们有 : 143 + (– 10)3 + (– 12)3 = 16

让我们这么说 n = 3,我们不知道在Aoû2019年是两个解决方案 :

13 + 13 + 13 = 3 et 43 + 43 + (– 5)3 = 3.

自然而然à l’esprit la question :是否有解决所有非禁止值的解决方案 n ?

工作场所电脑

对于R.épondre, on a commencé通过采取其余的非禁止值1,2,3,6,7,8,9,10,11,12,15,16,...(Neil Sloane的A060464)é学生一个接一个。如果没有那些étudiées ne se révè不可能的,我们将有理由只为所有人猜想 n qui n’est pas de la forme n =9m +4 ou n =9m +5,有解决方案à l’équation n = a3+ b3+ c3.

男士研究éES,取决于计算机的功率或réseaux d’ordinateurs utilisés, ont donné une série de ré越来越多的鸡。他们是那些去的人à新的我们导致着名和有趣的数量 42.

2009年,安德烈 - 斯蒂芬·埃尔森斯和jörg jahnel,使用méthode proposée par Noam Elkies en 2000, ont exploré tous les triplets A,B,C d’全绝对值INFérieure à 1014 搜索解决方案 n compris entre 1 et 1000.. Leur article concluait que la question de l’existence d’INF数字的解决方案érieurs à 1000。restait ouverte uniquement pour 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, et 975.

对于整数INFérieurs à 100, seules trois é因此仍然存在 : 33, 42 et 74.

在2016年,桑德韦恩推了一点’探索并找到了74个解决方案:(–284650292555885)3 + (66229832190556)3 + (283450105697727)3

只留下33和42 n inférieurs à2019年3月,Andrew Boker Régla le cas de 33 : (8866128975287528)3 + (− 8778405442862239)3 + (− 2736111468807040)3。 D.è在道格拉斯亚当斯的数量期间é是最后一个积极和inférieur à100我们不知道的100’il pouvait s’é写作三维立方体的总和’entiers. 

如果是R.éponse avait été né我们会有一个数学原因ématique vraiment sé给予’importance à 42 ; il aurait été第一个数字可能总和三个没有的立方体’aurait pas été。电脑有油漆é, mais ils ont déçu ce bref espoir.

猜想三维立方体的总和

Dé2019年9月,42日的目的était l’正整数最小,唯一的inférieur à 100我们不知道的100’il é是三个立方体的总和’entiers. 

安德鲁的赌场’université 布里斯托尔,英格兰和安德鲁·萨瑟兰,从麻省理工学院到États-Unis, ont utilisé le systè计算慈善引擎进行énorme calcul d’exploration équivalent à plus de 1 million d’heures de calcul d’当前的台式电脑。 Une solution a été trouvée :

42 =(– 80 538 738 812 075 974)3 + 80 435 758 145 817 5153 + 12 602 123 297 335 6313.

系统è计算慈善引擎坐标超过500 000 志愿者的个人机器。他让他们在时刻工作 où elles sont inutilisées, ce qui permet
R.éaliser d’énormes calculs à moindre coûT。慈善引擎是背景é sur un programme de l’université de Berkeley et géré par la société全球电脑公司。 

国内电脑电源réSideli项目计算机被销往大学éS和企业。 B.énéfices sont versés à慈善协会或服务 à组织绘制P.ériodiques pour ré赔偿r的参与者éseau. La puissance de calcul non achetée est attribuée à各种计算机项目。

他们ême méThode也LED à dé涵盖意外表达 de 3作为三维立方体的总和 :

3 = (– 472 715 493 453 327 032)3 + (– 569 936 821 113 563 493 509)3 + 569 936 821 221 962 380 7203.

唯一的整数inférieurs à 1 000我们现在不知道’它们是三维立方体的总和是114,390,579,627,633,732,921和975。

©慈善引擎

r.é呼气是9月 2019. Ce fut le résultat d’协调协调计算éAndrew Boker和Andrew Sutherland。参与r的计算机é铲斗慈善发动机D.’个人计算机计算期间计算’é季度超过1 million d’heures découvrirent que :

42 =(– 80538738812075974)3 +
804357581458175153 + 126021232973356313

整数165,795和906的情况有été aussi résolus ré它。它仍然只有114,390,579,627,633,732,921和975的情况à ré整数inf的glerérieurs à 1 000.  

猜想那个’所有人都有解决方案 n 这不是形式9m + 4 ou 9m + 所以似乎得到了确认。在 1992年,Roger Heath-Brown关于é一个强大的猜想声称所有人 n 可能的,有一个无限的é de façons de les é蜷缩为三个立方体的总和。这项工作远非’être terminé. 

难度é du problème apparaît é常态,这使得它认为问题ème « n 是否有三个立方体的总和 ? » pourrait être indé可达。换句话说,它可以’没有算法,如巧妙,就可以处理所有可能的情况。 vs.’est le cas pour l’arrê计划,艾伦图案所示é en 1936 qu’没有算法可以将它们视为。但是在这里我们处于纯粹的数字域名érique très simple à énoncer, et donc si l’on arrivait à证明了这样的人écidabilité这将是一个新的é.

第42号é很难,但这不是’était qu’une étape !  

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