数学

未知的力量'un modèle mathématique

如果它包含更多信息,是一个数学模型比另一个更强大?不一定:我们经常获得最低纲领派的模型。

托马斯刷子 对于Science N°358
本文保留用于科学用户
通过参加莱顿大学的最近会议,剑桥大学和Terence Tao(2006年奖牌),从加州大学到洛杉矶,我很惊讶。首先是两位数学家的教学人才,也因为B.绿色谈到他在数字理论中的工作,而他的结果在傅里叶系列上的结果,虽然每个人都使用了一个模特......概率主义者。 “概要的纯数学,”我想。作为一个专家,我不应该说“入侵”,但他们的概率论点的核心作用是无可争辩的。

模态化,概率或其他的极限是多少?为什么这个模型导致这么强大的结果而不是另一个?这些问题通过听B. Green和T. Tao来归还我的思想。本文的目的是与读者分享这些问题,并在两个示例中显示它们是有用的,我们有时可以猜出答案。

让我们从肯定的谚语开始,肯定我们没有任何东西,或者所有的价格。这是一个普遍接受的假设,反映了我们自己的经验和我们对世界的观念。这是第一个反例。这是游戏中选择的问题(见图1)。合作伙伴在我的知识中写入我的知识,两张牌上的两个不同的数字,因为他摆在桌子上的脸上的面孔。我返回两张牌中的一个并发现在那里注册的号码。我可以保留这张卡或选择另一卡。如果我拥有最大的两个数字,我赢了;否则,我输了。我赢得这场比赛的机会是什么?如果我没有任何先前的信息,那么我似乎有机会赢得胜利,如堆叠或脸部。

如1987年托马斯封面来自斯坦福大学的托马斯封面,这一证据是错误的。实际上,要有多次赢得一次赢,只需选择,事先,任何Z Z并接受第一个数字,如果它严格大于Z,否则,选择其他卡。

为什么这一策略导致增益概率大于1/2? x X的名字中最小的标志名铭刻在卡上,最大。我们发现自己是以下三种情况之一(见图2)。 1)x大于或等于z,这意味着Y严格大于Z;根据采用的策略,我们保留了返回的第一个数字,然后我们有两个机会,以至于它是Y.2)数字小于或等于Z,这意味着X严格小于Z;在这种情况下,我们拒绝第一个号码拍摄第二个,并且再次有一个机会在两个中,这个数字是Y. 3)数字z在x和y之间是;在这种情况下,如果它是x,我们会拒绝第一个数字,如果它是在那里,我们会保持它 - 换句话说,在第三种情况下,我们总是赢!

从两个中选择一个数字:比两个人更好

如果三种情况发生在各个概率A,B和C(未知值,但总和等于1),则使用此策略的总次概率为P = A / 2 + B / 2 +与或者如果z随机廉价,则概率c严格为正;并且由于A + B + C = 1,推导出概率P严格大于1/2(它等于1/2 + C / 2)。

这个结果很棒。任何数字Z的选择都不是假设,并且不会花费任何人。但这种无效成本产生了利润!在解释这种现象之前,让我们走到第二个例子,更令人惊讶。我们想卖我们的房子,或买车,或雇一个合作者,或找一个好工作等。我们希望做出不错的选择。具体而言,我们将其确定作出决定的截止日期。提供到达,他们的价值与抵达顺序无关。每个优惠,我们必须决定接受它(以及决定的问题完成),或等待更好的报价。一旦报价拒绝,假设它肯定会丢失。一方面,我们希望接受最好的报价,另一方面,我们冒险缺少良好的机会。什么是最佳策略?

选择最佳候选人的策略

这个问题的特例被称为秘书问题。商业领导者执行一系列N采访,以选择求职者。在每次面试后必须做出决定,并且候选人的任何抵达令都被认为是替代的。候选人的数量是提前已知的,企业家非常苛刻,希望最大限度地提高保留最佳候选人的可能性。自1961年以来已知的最佳策略包括在不记得任何人的情况下实现(n)访谈,其中a(n)由不太复杂的公式确定。然后,从[a(n)+ 1] -ind候选,一个人选择比以前所有的第一个候选者(如果有的话)。通过施加该策略的成功(所有N个候选者的选择)的概率p(n)通过n(p(1)= 1,p(2)= 1/2,...)减少,但从未变成在1 e E下,等于约0.368(E表示自然对数的基础),这也是N倾向于无穷大的p(n)的极限。

当然,这结果是有趣的。不幸的是,在销售,购买,求和等问题中,优惠数量通常是未知的。那做什么?最自然的方法是通过一个未知的n来替换n,其特征在于概率的某个分布,也就是说由一组值p(n = 1),p(n = 2),p(n)= 3)等,其中P(n = x)是指未知不采用值x的概率。该模型是在1972年提出的。再次实现最佳策略的计算,但通常更复杂,并且策略大量取决于概率分布。更差:所选分布的最佳概率通常小于1 / e。对于一些分布,最佳策略不再提供任何服务,因为他们的成功概率几乎是零。换句话说,已知值n的通过不明的值N未知,但是已知分布,通常非常昂贵。

然而,反射随着时间的推移而成熟。我在1984年发现的关键是使用比优惠数量的概率p的较低信息。即使在不知道优惠或其概率分布的概率分布时,我们也可以估计报价,如果有的话,应该有更多的可能性。例如,每个星期六从下周开始,我们在报纸上发表了一个公寓的广告。我们可以认为人们真的有兴趣会很快反应。因此,他们更有可能在周六,周日或周一早上呼吁,而不是接下来的几天,这是对公告的每次出版物重复的推理。如果呼叫数量非常高,则呼叫频率作为时间的函数将绘制全局减少曲线,但周末有峰值(见图3)。根据可用的部分信息,我们建模曲线(例如,如果我们缺少一周,则在返回时会增加呼叫数量)。

一种更有利的模型,投资可忽略不计

怎么办这个曲线?让R(U)是通过将横坐标0和横坐标U之间的曲线F分割的区域除以正横坐标的整个半轴下的总面积(见图3)来将横坐标F和横坐标U分割而获得的比率。让你* r(u *)= 1 / e等片刻。策略S(U *)等到U *瞬发,然后接受比以前所有更好的第一个报价(如果有),很棒。实际上,显示该策略S(U *)成功的概率至少为1 / e,无论优惠数量如何!当我们基于要约数量的概率将此结果与模板进行比较时,增益是醒目的。更显着的是,与简单模型相比,成功概率的损失(已知候选人数的秘书问题)几乎可以忽略不计(n = 1或2)。另外,我们表明你不能做得更好。在两个模型中,1 / e值是较低的终端,并且当N倾向于无穷大时,成功的概率的极限。因此,策略S(U *)倾向于最佳策略。这被称为“1 / E法”。

该模型并不总是非常逼真,但对于平均重要性的决定,它一般适应。例如,我已经应用了1/2策略来购买一个个人,咨询广告,这是一个大百科全书。我们不会移动几次来检查这样的百科全书,卖方和买方知道;因此,该决定采取了对应于模型的斑点。在房地产购买的情况下,这取决于市场的状态。这种交易通常是一个非常重要的行为。如果市场很平静,买家花时间,有时会“战略”提供太低,最终增加它们,等等。简而言之,他们的决定或卖方的假设必须在下一个潜在买家的到来之前采取较不太现实。另一方面,在市场上不仅仅是紧张,比如布鲁塞尔从2004年到2006年经历过,我会毫不犹豫地按照申请模式。

无论如何,在我初步质疑模型的价值的背景下,1 / E的法律是一个真正的惊喜。如果一切都有价格,一个奇迹应该在哪里支付强劲的价格以换取N的完全无知(价格存在,但它可以忽略不计)。对n的差异应该是致命的;但在这里,不仅它不明是未知的,而且我们不询问其概率法的任何内容:只有条件概率在某些可预测的事件方面使用,这对应用程序提供了更好的方式。该模型在假设中较低。新的成本/利润报告如何解释,这似乎比数字所知的模型更有利?

假设奇迹不存在,我们必须得出结论,正确的问题不是“当一个模型从一个模型移动到另一个型号时支付的价格在哪里?但是“建模的力量是什么? “直觉使我们认为有些假设远低于其他假设,并且在实现目标的可比损失方面,较低的苛刻模型的利益应该负担得起。好吧,那不是这种情况。 1 / E的法律只是一个例子,但它以明确的方式显示。它还表示适当建模的可能性。只有在我们可以证明(这是1 / e的法律的情况下,它只是可以做得不比一个人知道真正的潜力,建模的真正限制。

目标是设计最小的模型

让我们回到我在B. Green和T. Tao会议上问自己的问题。对于给定的问题,为什么它是这样的模型,而不是另一个模型,即有必要破译它来实现其结束?首先,不保证导致期望目标的模型的存在。实际上,任何相当强大的数学系统都是矛盾或不完整的,也就是说,它含有未定定的陈述,因为KurtGödel表明。因此,如果一个人落在这样的不可裁定,则无法结束可解密的模型。然后,关于某些型号是否预定的问题是有可能更大的机会实现他们的目的。

当B. Green和T. Tao解释了各自的方法时,我对每个人都发现了他真正最小的模型,也就是说,一个模型非常宽,以整合必要的属性或约束,但这不包含更多。任何不可行的补充剂都可能对必要或危害必要的有效性杂乱无缺的愿景。看来很清楚,几乎是微不足道的,但我们的科学家不习惯要求我们的模型是自然的,真的很少。

没有食谱可以找到最小的模型。但是,我们有一些迹象。让我们参加我们的第一个例子,两个数字。什么。盖子锯是它不适合堆叠或脸部模型。当然,玩家没有关于卡上的两个数字的信息,因此每个数字都有一个先验,概率1/2是最大的。然而,它不能被纳入堆栈游戏或第一次观察(所选择的卡的卡片)可以是有用的。电池或面部模型是“太小”,TH。盖子可以做得更好。

另一方面,1 / E的法律表明,通过其概率分布建模未知的数量,因为它看起来很自然,是一种糟糕的方向的称重范围。这样的模型是“太大”。目标是概括未知n的秘书问题。这要求候选人顺序地(不是几个时间)到达,并且候选人的不同到达订单是替代的。为了确保到达时间不一致,就足以假设所有候选人彼此独立地遵循,同样的抵达概率律法,并选择法律继续。然后我们获得最小或几乎模型。

建立在示例中,只有可能是一个相对谦虚的结论,但其中包含科学鼓励:科学建模游戏不是零和游戏。建模的有用性的限制可能是慷慨的。让他们与数学方法本身相同的严重性研究!为了找到最小的模型,让我们试着用来真的很少,而没有假设,而不在所有方面验证它。想想这些例子,他们可能的平行是一个很好的起点。

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