数学

钩针编织,珊瑚和几何形状

珊瑚的形状是双曲线几何的体现之一。具体表示与该几何形状对应的空间的唯一方法之一是过时的活动:钩针编织。


LoïcMangin 对于科学N°432
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钩针编织的声誉很差:这种蕾丝化身只会被聚集在俱乐部中的年龄较大的女性所采用。此过时的图片至少部分是错误的。近年来,钩针编织技术再次变得时尚,不再有专门的博客。更妙的是,装饰扶手椅和电视顶部的这些网状作品中隐藏着科学。


玛格丽特(Margaret)和克里斯汀·沃特海姆(Christine Wertheim)于2005年探索了这一方面,图形研究所 (iff), 在洛杉矶。该机构提倡科学和数学的美学和诗意层面,而无需诉诸抽象概念。


他们的第一个项目,名为 钩针珊瑚礁,是钩在珊瑚礁上!这个想法似乎很荒谬,但却很重要。让我们看看为什么。在生物世界中,许多形式呈锯齿状,锯齿状,卷曲……让我们提及藻类,生菜叶子,海参……和珊瑚。这些曲面属于双曲几何,这是存在的三种几何类型之一。


描述它们的一种方法是基于并行假设。根据欧几里得,通过给定线外的点只能平行于该线。在大约2,000年的时间里,这一假设被认为是不可避免的。然而在 ix e 世纪,数学家(Riemann,Lobachevsky ...)从中解放了自己。在球面几何中,与给定线的平行数为零;在双曲几何中它是无限的。 


因此,几百万年来,有机体经常以多种颜色展示不到200年前发现的概念!但是,虽然欧几里得几何形状和球形几何形状很容易通过物理对象(分别是气球的平面和表面)建模,但双曲线几何形状却长期受到人们的反对。这个想法是用图形一致地表示几何图形及其属性。对于双曲线几何,困难在于许多人得出结论,认为这种表示是不可能的。


当然提出了几种模型,例如Klein-Beltrami模型和Poincaré圆盘模型(Escher的几幅作品都基于这种表现形式),但它们仍然过于概念化。数学家威廉·瑟斯顿(William Thurston)创建了一个纸模型,但它非常脆弱。然后,在1997年,康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜(Daina Taimina)表明,钩针编织可以应对挑战。


实际上,根据钩针编织原理,行针迹的数量逐渐增加,这与双曲线几何的特性相吻合:圆的周长随欧几里得平面上的半径线性增加,但在在双曲平面上是指数的。因此,可以钩针编织的双曲线几何图形!


此外,根据遵循的规则,我们获得了不同的模型。例如,在图中每行增加一针  b 图中的第三行 c 。 该图 d 显示直线 (黄色) 缝在双曲平面上。


该项目 iff 首先从一个小广告招募“捡拾者”开始。它已经发展壮大,今天聚集了来自世界各地的数千名参与者。宾夕法尼亚州匹兹堡的安迪·沃霍尔博物馆是对该项目最感兴趣的博物馆之一:该机构展出了第一座羊毛珊瑚礁 (见图a) 作为其致力于全球变暖的展览的一部分。


然后是芝加哥,这里有300平方米的画廊,然后是纽约,伦敦。今天,在丹佛和哥本哈根可以看到这项参与性工作的结果。每次, iff 创建是为了团结该地区的善意。的 钩针珊瑚礁 无疑已成为艺术与科学相结合的最伟大的项目之一。

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