数学

幂律'exprime aux échecs

国际象棋不同开口的受欢迎程度遵循幂定律,幂律的指数取决于所考虑的步数。

菲利普·里博·格西佩

1.e4 c5 2.Nf3 d6 3.d4 nxd4 4.Nxd4 Nf6 5.Nc3 a6…“西西里Najdorf”是国际象棋中最受欢迎的开局之一-游戏的开始。在这十个之中120 在国际象棋中可能进行的游戏中,并不是全部都进行,特别是并不是所有不同的开口都同样受欢迎。

更准确地说,德国波茨坦大学的Bernd Blasius,RalfTönjes和Andriy Bandrivsky刚刚证明,光圈的频率遵循幂法则,即Zipf定律。

为此,研究人员只需对游戏中记录的约140万场比赛进行排名 数据银行 ScidBase 取决于所使用的光圈,最多可打20次(一击等于一白棋然后一黑棋)。他们发现开口遵循以下形式的统计分布:1 /nα (“权力法”),其中 n 是光圈的普及度(从最常用到最不常用),并且α是2.05的正指数。具体而言,这意味着大量的游戏都使用了少量的开口,包括著名的西西里人。

幂律的出现并不令人惊讶。这些法律在各种情况下表现出来,例如使用一种语言的单词频率,引用科学文章的次数,访问网站的次数或城市的规模。在所有这些情况下,包括现在的国际象棋,指数α都接近2。语言学家George K. Zipf早在1940年代就注意到了该指数的“通用”值,并且这种形式的分布带有今天的名字。

更有趣的是,作者已经表明,开口的分布遵循两种不同的状态。如果我们不再考虑整个部分,而是 d 第一次命中时,孔的分布也遵循幂定律,但指数为αd est plus petit que 2 et croît avec le nombre de coups d.  La valeur critique α = 2 est atteinte à partir de 7 coups et demi (pour α > 2, les distributions de la forme 1/nα 具有明确的均值,而对于α < 2, la moyenne diverge).

在第一种情况下,大多数游戏都使用少量的开口。例如,点击6次后,有80%的游戏会探索23%的开局。但是除了临界深度之外,大多数游戏都是基于不同的模式构建的,每种模式很少使用。

已经提出了许多模型来解释齐普夫定律的普遍性,并取得了不同程度的成功。根据B. Blasius及其同事的说法,在国际象棋的特定情况下,这种行为源自潜在的决策过程结构,涉及多个连续的选择。这个过程可以在其他领域,如在线购物发现:在有限的选择数量的情况下,一些主打产品代表了批量采购的,但超出阈值,当选择的数量过高。大,没有产品出现。

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