数学

这些挑战数学家的问题

在1900年和2000年,数学家列出了他们那个时代最重要的问题。因此,他们希望指导世纪甚至千年的研究人员的到来...

塞德里克·比利亚尼(Cedric Villani) 科学档案N°74
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从高中提供的教育中,我们常常得到这样的信念:数学是冻结的:它似乎主要是由 vie十八e 几个世纪,才结晶。因此,高斯(1777-1855)用他20岁时唯一的知识,可以玩我们当前的科学终端课程的所有数学练习。这种特殊性并不适用于生物学等学科,因为它们在同一水平上的演习会使达尔文(1809-1882)感到困惑。

对旧知识的这种求助并不是一个不好的方法:它提供了良好的古典基础,对创新工作几乎必不可少的初步知识以及扎实的推理能力。但是在这种情况下,我们怎么能想象在数学中仍有发现的地方呢?因此,当克莱数学学院在2000年5月24日公布“千年问题”列表时,这是令公众感到惊讶的七种未解决的数学难题,每个难题的售价为一百万。美元!

一个充满开放问题的世界

这项“重要”声明使该学科有了更多的亮点(已经将2000年定为2000年国际数学年)。联合国教科文组织,并向所有人揭示数学家敏锐地意识到的事情:他们的世界被开放的问题所侵扰,等待解决方案长达一年,一个世纪或一千年。因此,数学家陷入了巨大的问题网络,无论大小,都可以精确地提出或模糊地勾勒出来,并由少数研究人员或数千名研究人员进行研究,并且困扰着他们一天,一夜或一夜。生活。

这不是我们第一次尝试列出最重要的问题。 1900年,德国数学家戴维·希尔伯特(1862-1943)提出了23个未解决的大问题,以指导下个世纪的数学家。在巴黎大会题为“数学的未来问题”的演讲中,他提出了问题的概念,因此在数学中如此重要(见É。Ghys着,第64页,什么是一个好问题?) )。

我们可以通过解决的问题数量来衡量数学进步吗?这没有道理:解决的每个问题都提出了十个新问题。如果克莱研究所的名单比希尔伯特的名单短,那不是因为要解决的问题更少,而是因为有了一百万美元的赌注,我们不得不请谨慎选择!确实,希尔伯特提出的一些问题几乎立即得到解决。为了防止历史重演-以及兰登·克莱(Landon Clay)的钱变得太多-因此,对于《千年清单》,我们只保留了最重要和最困难的问题。

许多数学家认为,这些难题几十年来都无法解决。这不算俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼(Grigory Perelman)的天才,他以对非欧几里得几何学的杰出贡献而闻名。令每个人惊讶的是,他在2003年宣布已经解决了清单中的一个问题,而且并非最不重要:一个有着近百年历史的庞加莱猜想,它是拓扑的象征(请参阅几何空间:从高斯到佩雷尔曼,É。Ghys着) (第56页)。

数学家如何解决难题?

G. Perelman在七年的孤独和秘密工作中如何克服本世纪最伟大的数学难题之一?每个研究人员都有自己的解决过程理论,并以无穷无尽的变化形式展开。除了亨利·庞加莱(HenriPoincaré,1854-1912)的著作外,仅有很少的直接证词:数学家在他的自传体著作中唤起了经过长时间浸渍后意外出现的照明。 。就我而言,我也区分了几个时期:第一阶段很长,我们陷入了完全黑暗。然后是一秒钟,其中出现了微弱而弥漫的辉光,这表明有些有趣的事情。最后,这是启发,是人们理解,写作,交叉检查,发布并与同行分享结果的时刻。

当然,大多数时候我们会陷入第一阶段或第二阶段。在到达第三名的情况下,这激烈的时刻不可避免地会伴随着轻微的沮丧,在那我们对自己说:“毕竟,这很容易”。

问题伴随着我整个数学生涯。在上大学的时候,那些三角形的几何使我着迷,并让我表现出我的示范感。在学生练习后,教授知道了答案,这是研究问题,最能激发人的问题,那些没有先验的人是否有解决方案的问题:首先是我的主管问我的那些问题。论文,然后是我问自己或偶然遇到的那些问题。这些有时会给我提供解决我所熟悉的问题所需的动力:我的工作中关于气体碰撞产生熵的一些基本思想(请参见因此,C。Mouhot在第106页上发表的“不可逆转”是与意大利帕维亚大学的Giuseppe Toscani的联合研究发表的。在其他情况下,这些相遇给我带来了一个我不知道的问题,但是我知道所有需要解决的问题。

但是,最后,问题及其解决方案是一个整体:只有根据解决方案及其教训,才能确定一个人是否面临问题。 “好问题”,并评价其重要性。在这方面,数学之谜有点像侦探故事。这样一部小说的兴趣不仅在于识别罪魁祸首,还在于人们无可辩驳地证明自己有罪的方式,换句话说,就是使他困惑的推理。同样,在数学问题中,对解决方案的演示必须带来其经验教训。

每天,数学家都会开发成千上万的演示。解决的问题,或多或少重要,或多或少是技术性的,具有各种影响,有时甚至成为报纸的头条新闻。流行的作品使其中的一些流行,例如费马大定理(1994年由当时在美国普林斯顿大学任教的英国数学家安德鲁·威尔斯(Andrew Wiles)证明)和庞加莱猜想(请参阅主要决议选集,第112页)。这些伟大的决议不仅是科学界的梦想,还包括新概念的发挥以及由此产生的领域的重组,也是整个公司的根本人类梦想。因此,庞加莱的猜想启发了高级时装设计师三宅一生(Issey Miyake)。

尽管如此,我们仅在未知海洋的中间发现了一些知识之岛。我们知道的很少!相反,这不是悲观的讲话:这种匮乏只会使积累的知识更加宝贵,而且面对未知的每一次新胜利也将变得更加独特。研究人员并没有因此而感到沮丧,反而从中汲取了自己的力量和动力。

有用的阻力

解决问题可能需要很长时间。但是,即使他们反抗,数学难题通常也起着基本作用,激发了新的理论。因此,费马大定理激发了数论整个分支的探索,庞加莱猜想伴随着所有拓扑的历史。 xx e 世纪,产生了三枚菲尔兹奖牌。

如果您问数学家,世界上最大的数学问题是什么,他可能会引用黎曼假设(请参阅P. Meier和J. Steuding,第8页的《黎曼假设》)。它是由德国数学家伯恩哈德·里曼(Bernhard Riemann(1826-1866))于150年前提出的,它仍然抵制了我们的示范尝试,就像人迹罕至的峰会一样。因此,本卷宗将从这个谜题开始,该谜题既出现在1900年的希尔伯特名单上,又出现在2000年的克莱学会的名单上。然后,我们将讨论一个或多个这些象征性名单上存在的其他问题。 ,在研究一些不存在但可能会变得更重要的问题之前,谁知道呢?对于似乎是次要的谜团的这种意想不到的解决方案,对于专业的研究人员群体或所有数学家来说,可能是决定性的。

我们将以一些著名的解决方案来结束本卷宗,这些决议案激发了几代数学家的梦想:那些高阶代数方程式,费马特的伟大定理,庞加莱的猜想……这些令人眼花human乱的人类和科学历险-罕见,至多每十年一次! -永远标志着数学的历史。

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