逻辑

演示中的快捷方式

人类证据的风险简洁与正式证据的聊天形成对比。

Jean-Paul Delahaye 用于科学N°268
本文保留用于科学用户

如何知道演示是否正确?它被想象在通知可以使用的定义和已知结果之后,数学家仔细地仔细阅读它,仔细阅读它。如果有些问题是未解决的,那么情况是这种情况,我们会知道哪些,研究人员的工作仅仅可以解决这些列出的谜题。数学的各地都会统治确定性。

这种情况,如果是真的,就会将数学归结为物理学,在那里没有什么能肯定建立一个理论,这只是一个可能被新数据质疑的假设。我们知道,我们不证明一个物理法,这是一般性陈述,从观察和实验中唯一是特别的陈述。

逻辑学家将通过维护自本世纪初以来,为数学的理想化愿景支持,编纂系统可用于编写称为正式系统的演示。使用其中一个系统进行证明时,计算机可以检查无需人为干预的准确性。正式证据的准确性,说逻辑学家是机械验证的,无需智力。但大量原因使理想的绘画使理想的绘画复杂化,并在没有任何争论的情况下,没有任何论据,没有任何争论,没有任何争论,没有任何争论,在任何问题上都是通过裁判的计算机来解决。

我们将唤起书面形式核实正式示范中遇到的困难。这些困难并不意味着为写作的编纂系统是无用的或不令人满意的 - 没有人认为没有它,哥德尔作为反对形式主义的论点的争论是错误的 (见11月和1999年12月的月份标题)。困难只是意味着利用逻辑形式主义比似乎和数学世界溢出的复杂性更加细腻,我们不知道在实践中,在实践中锁定是逻辑学家的正式系统的消毒盒中。

在引进他的大型数学论文中,尼古拉斯布巴基表示非常明显这一观点在数学的现代概念的心中:“...总是保持呈现,就像一种地平线,完全正式化的可能性,我们的条约旨在完美严格。 [...]我们寻求保持我们不断地保持近似正式的文本的事实,似乎没有难以忍受的长度,审计原则上很容易;错误(在这样的企业中不可避免)可以在没有过度的时间内定位,并且看到它们无效的风险整体章节或书籍仍然很低。“

本文的一些数字重现了1998年2月将补充本节拟议的非单词演示。这些图形示威性说明了一个强大的想法:旁边的白话或正式语言示范,一个沉默和几何曝光的数学证据有时可能。

真正的证据表明,数学家被写的是与正式证据的初始证据非常不同:缩写的广泛使用。在缩写中,有些人,良性,这不会引入任何歧义。数学家将指示例如赢得一点点

地点,他指出 a7 代替 a×a×a×a×a×a×a , 或者 (5) (X) 代替 SIN(SIN(SIN(X)))))))))) ;括号约5避免困惑 (5) (X) 5 (X) .

如果只使用了这样的缩写,则很容易将人类证明转化为正式证据(因此机械地检查)。将要求计算机系统地用完整版本替换每个缩写的缩写符号,并且即使这种练习扩展了文本,也不是计算机控制它的严重不适。

捷径和缩写

不幸的是,大多数缩写是模糊的,只有上下文使得可以确定其含义。符号 DX. 例如,可以表示变量的乘积 d 多变的 x或者差异 x 用于全面计算。 Mathematician Littlewood引用了一位写作多项式的老师的轶事 斧头 4 + BX. 3 + CX. 2 + DX + e 评论说:“e 不一定是,但可以是自然对角线的基础。“ +标志是指整数或矩阵之间或各种其他操作之间的添加(在相同的数学文本中,使用几个符号+,每个概念都使用若干符号+。符号 i, 根据文本,将指定自然整数,或者广场值为-1的复数,或其他东西。

还有频繁的迹象引入了歧义:“参数 k 将在段落的其余部分固定,而不是 fk (X) 我们会写 f(x) 。“数学文本充满了这些快捷方式,这些捷径以正式的语言变得困难。数学家都知道它,就像来自Nicolas Bourbaki的这个报价一样(线性代数,第二章p。 53)证书:“u⊗v等级因此可能会令人困惑,并且需要上下文指示它是否是张解产品或线性应用。”可以给出千候的其他例子。

到处

可以从演示文本跟踪和删除所有这些缩写,并且可以从演示文本中追踪和删除,而无论何处,示范结构结构中的缩写都要严重。数学文本仍然被删除。

我们明白“读者毫不费力的核实是什么比2的单位数量100 开发时是6“或”(x + 4x5)12系数 x20 是1056“;通过拍卖一张纸,读者(假设患者)将使肯定的正确性以及缺少的演示 - 计算 - 将重建。

有时,在不使用具有特定程序的计算机上,不可能允许验证的计算。想象一下你应该做些什么来向你的数字π的第一百万个小数中的“7”(这是一些书中发现的真实陈述)。我们必须信任声称,或工作时间甚至几天的作者来检查它。

谈到计算时,桥梁存在于人类证据中的漏洞似乎并不完全不可逾越。另一方面,在案件中提供定理示范之后,数学家在数学家时如何担心 b 积极,书面:“案件 b 消极的很容易触摸“或”是模拟的“?我们会到达那里吗?在演示文本中,如何坦率地担心焦虑,我们发现了Laconics,但在读者中留下了非常频繁的“留下”?

以下是从书中汲取的这种类型的一些例子Linare代数 条约BOURBAKI。首先是经典:“我们轻易检查......”(第I章,107)。这样的句子似乎无法引导读者。不超过那个,如果你在省略演示中遇到障碍,可能会让你自己绝望:“演示甚至更简单......”(第二章,第85章)

不可避免的“我们看到......”当然是条约的示范阿森纳的一部分(第三章,158)。当给出细节时,它们不一定是谈论的,并不肯定能够与那些神秘的人一起出去,证明第三章第3章的演示。 39,以:“因此,结论是由扣除产生的。 1和II,p。 10,道具。 5(ii)。“更美味再次是一行中的一行中的惊人演示,占用四个:“这是来自e,iii,p的结果。 29,prop.12和e,.ii,p。 42,COR.1“(第三章,87)。

我们甚至可以省略定理!

非数学家将惊讶,但即使在最好的条约中,捷径也可以扩大到示威之外。因此,有时,省略定义和陈述本身。同样在N.Bourbaki的条约中,我们会发现令人钦佩:“我们将读者留下了左侧线性方程系统的类似定义和备注”(第二章,146),以及:“我们离开读者可以定义一个环形环的环...并检查......“(第二章,146)。为什么不委托读者单独编写下一章?

这些遗漏不安全,很多数学家会告诉你,即使它们看起来不可避免,他们也仍然危险。常见的是,在数学文本中发生错误,精确地在这些不完整的详细地区通过匆匆的数学家,真诚地说明了这一示范,从简洁的迹象表明它建议作为一个论点。

这些设施由“左转到读者”和其他“作为一个例子”展示第5号“,是危险的,因为所有写数学文本的人都知道他们经常没有在这些缺失部件的纸上详述它们建议读者独自重建。他们想到了它,他们很紧密相信“它走向”,但这是够了吗?然而,我们怎样禁止这些设施,因为Bourbaki自己承认在数学文本中,“使用言论的资源是必要的”(Bourbaki,介绍,第7页)?

通过经济的乐趣和简洁的优雅鼓励,也急于通过在一个真正容易的段落中提供详细信息,任何数学家都列出了他的示威活动,以及他在高水平的数学家地区的所有地址都是愚蠢的。如此奇怪的是,风险在提出了研究结果的文本中是最大的。在为学生的课程中,数学家将尝试遏制他的首页,以便对证据的简要草图,而不会抵制“案例1是琐碎的”,特别是在运动中的诱惑。这些Laconics Pirouettes对中生的绝望来说,无法阻止这些据称富裕的洞穴,并给予太挤压的读者感到困扰,这些读者吞噬了建议的工作,但是,在引言中,作者表示,具有私人的作者仔细对待它们是重要的,以确保良好的课程同化。

一个着名的洞

数学证据中最着名的漏洞之一来自这些不谨慎的捷径之一。我们知道,1993年6月23日星期三,在第三天的第三天结束时,安德鲁·威尔·威尔队结束了大型费尔特定理的证据(具体情况下表现出更多一般结果的证据)的介绍。当场的人无法检查演示远太复杂,其中只有主要的线条已经口头解释。大约两百页的示威事件提交给由工作几个月工作的六名专家组成的专家委员会。很多次,他们不得不询问A. WILE以解释,让他们抓住

写的东西的意思。面对正式证据,数学家专家不必联系A. WILE! A.威尔斯本人声称在与他的同事们融洽之前检查了两次示范阶段。每个问题的专家,他还提出了一个答案,提出了提出的困难。一点少,A. Wily使他的文件可以理解,谁,如果数学符合本文开始时提到的理想化描述,那么应该是开始。

它正在慢慢进入总验证,直到不完全包含一个专家或第二天的回应:示威活动中有一个洞,尽管A. Wily所做的所有护理,但后者尚未见过。 “虫子”来自于使用,在其证明的精确条件之外,一个过程中的一个过程,即在仓促的泛化中,在没有做所有所需的控制的情况下使用。

我们知道更多:需要两年多的时间来纠正错误并到达,从1993年提出的那样,采取不同的方式,一个完整和公认的专家演示。请注意,为了向关注点,一旦获得了该专家的协议,其他专家就证实了证据。毫无疑问,今天仍然存在于其有效性,也就是说,关于编写Fermat定理的正式证据的可能性。证据的长度禁止这种正式的转录完成,但在其存在方面没有争议。 11月份关于A. Wily的证据转录的难度在PEANO基本算术的形式主义中(比套装理论的更限制,这是今天的隐含参考的案件)以任何方式无与伦比关于A.武器证明的有效性统治,除了想象套装理论是矛盾的,胜利是最终的。

争论

今天,当数学中有一个争议的演示的有效性时,这是真实的,这最终它永远不会持续很长时间,因为可能更接近和更多的可能性是完整的正式证据。

之间的关系 正式证据 真正的证据 因此可以通过说:正式证据是由数学家非常少数的,因为它们很长,但他们仍然被用作评估A的最终追索权 真正的证据 谁的有效性是值得怀疑的。事实上,这是寻求接近的是 正式证明 结果讨论了最终协议:或者我们不符合导致的道路上的障碍(并且很少借用直到最终)和 真正的证据 被认为是正确的,出现难以克服的洞,证明不足,所以不存在......

在数学中删除争议是相对较新的,因为在本世纪初的逻辑进展之前,它定期呈现,严重的不确定性甚至在数学中除以精神。这是如此结束的情况 XVII. e 世纪当发现差分微积分并且仅掌握限制的概念(它是A.Cauchy,1789-1857和K. Weierstrass,1815-1897)。在拓扑的发展时,发生了其他长期争议,就像哲学家IMRE Lakatos在他的书中详细说明了欧拉的公式 s-a + f = 2 (a 是多面体的边缘数量; s 峰值的数量; f 难以指定有效性字段的面部数量)。

在本世纪初,数学中的最后一个主要争议之一就是关于基础,但它并未专注于精确证据的准确性或不准确性,这是对可以合法化工作的推理方式讨论(装配概念,选择的公理,非建设性推理等)。今天,由于正式的系统,在数学的基础上脱模了争议,并不再是包括少数数学家护理的哲学家的问题。关于任何重要问题,建立了一致的协议,真正使数学是一个单独的科学。

关于Gödel的定理在他的出版物之后,若有几个数学家和制作此类结果的恋人的严重误解(例如,实际数量的不可变性或不可能的圈子的不可能)之后比尝试更严肃地拍摄了实现周日发明者的永恒运动。是的,今天在数学中,关于正确性存在一致存在,没有真正的争议不再少。

形式化进展

虽然很少有数学家关注日常全面形式化他们的证据,但对这些问题的进展并不可忽略不可忽略。

Poincaré嘲笑这一事实,在系统的形式主义中写1 王子岛 从罗素和白头(第一个写成大量数学的第一个完整的正规系统),有大量的符号,他发现了荒谬。热情地关于条约 数学 来自N. Bourbaki,其第一页由该条约依赖的正式系统的详细描述构成,朋友们已经发挥了乐趣,明确地写出表示整体的所有部分的符号而不使用任何缩写。所有,一旦在一卷纸上转录,长度为3米。

今天的正式系统不呈现所有这些荒谬的故障,因为为了操纵它们,设计了更有效的评级的计算机。由于这一点,我们能够编写相当高位的数学结果的证据。在此场合开发的技术也用于证明计算机程序的有效性,这是一个整体领域的积极研究,逻辑有助于计算机科学。

无限小正式化

其他逻辑进展让数学家感到惊讶。有绝望地证明了精确的形式主义,计算良好的计算方法,这是基于无限小的操纵。分析 XVIII. e XIX. e 几个世纪也逃离了这些无限令人不安的数学,这似乎是不屈不挠的。在20世纪60年代,A. Robinson的非标准分析正式制度成功提出使用无限小的壮举。想要利用他对物理学家来计算的人来说,现在具有可以验证他的计算的形式主义,以至于迄今为止被认为是非严格的。关于非标准分析的已知逻辑结果是显着的,并且其中一个表明未提及在非标准分析的正式框架中无限展示的任何财产也可以证明在通常的连锁形式主义中不使用无限较小的情况。这结果是标准的 一个后念 选择是由数学家发生在无限的小,但是,知道它,它今天允许那个发现方便使用它们留下自由品尝的人。

启发式证据和“几乎证据”

在正式证据的概念旁边,用于让每个人都同意了解真正证明的内容,有多种非正式和坚决非正式的证据(至少与今天的已知系统)提供几乎确定的。这些启发式证据,所以让我们打电话给他们,很奇怪,因为当他们遵循时,他们说服了所针对的提案的真理。然而,对于以前的证据表明,以无限的小,数学家拒绝他们。虽然他们“看到它是真的”,只要我们没有良好的正式系统(类似于A. Robinson的非标准分析),仍然无法将它们转化为正式的证据。这只是意味着在数学家的眼中,他们没有表现出任何东西!

图5中显示了难以转化为正式证据的启发式证据的一个例子。

几乎,但不是真的

几乎经过验证的结果的另一个例子是涉及奇数图像的一个例子,结果抵抗20世纪的演示。完美的数字是一个等于其自身除法的总和。以1,2,3可分割的数字6是完美的数字,因为6 = 1 + 2 + 3。这是最完美的数字,以下三个是28,496,8128。有奇数吗?问题已被要求超过两千年。没有人曾发现过,但没有人表明没有人。尽管存在这种缺乏示范,但今天每个人都相信,没有完美的奇数,因为它已经证明(严格地)大量的属性,应该具有如此完美的奇数 N,如果有的话。

- 一个完美的奇数 N(如果有的话)至少有8个不同的第一个因素,如果它的倍数为3,则必须至少有11个(P. Hagis,1983)。

- 一个完美的奇数 N如果有的话,这是第一个因素的逆转的总和在0.596和0.694之间(D. Suryanarayan,P. Hagis,1970)。

- 填充完美奇数的素数的最大权力 N如果存在,大于1020 (G. L. Cohen, 1988).

- 一个完美的奇数 N,如果存在,大于10300 (R. Brent,G.L.Cohen,H. Telee,1989)。

- 完美奇数的第一个因素之一 N,如果有的话,超过106 (P. Hagis G.L.Cohen,1998),另一个超过104,另一个仍然超过103 (1999, D. Iannucci).

请注意,一些结果仅在几个月前展示。似乎没有数字可以立即检查所有这些条件(但它没有严格建立),因此我们相信比永不存在的任何完美奇数更强烈。这种感觉和我们已经到达几毫米的最终结果的想法不构成正常的数学证据,因此,随着情况的总是如此,在这一点上没有争议:强烈的是我们的感觉没有奇怪的数字,没有人索赔它已被证明。

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