科学史

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根据莱布尼兹(Leibniz)的观点,物质主体是由零件组成的,它们本身又分为多个部分,这是无限的。但是,这些部分并不是无限小:莱布尼兹(Leibniz)将此概念保留在理想的数学世界中。

马西莫·穆格奈(Massimo Mugnai) 科学天才N°28
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为了给他的无穷小概念打下坚实的理论基础,而且为了阐明他对无穷大的想法,莱布尼兹计划很长时间写一篇题为 De scientia 无穷ti(来自无限科学)。像许多其他项目一样,该项目将永远不会实现。然而,有可能从莱布尼兹对无穷无尽的各种反思,一个连贯的理论,以及从某些方面来看颇具启发性的问题,进行重构。

为了掌握莱布尼兹立场相对于传统的新颖性和连续性,让我们概述一下理论框架,作为莱布尼兹思想的背景。

vie 世纪,亚里斯多德的学说仍然很有影响力。亚里士多德驳斥了无限的存在 在行动,而他承认无限 当权的。对象在生效时具有活动的属性,而在可能可实现时具有潜在的属性:例如,棕色的头发在行动中是有色的,而白色的则在行动中。根据亚里士多德的说法,在存在无穷大的情况下,这意味着给定任何物体(自然的或人工的),它都是由有限数量(也许很大,但总是完成的)零件组成的。但是 可分割的 分成可能无限多个部分。

表达 当权的 这里并没有表达“正在行动”:无限的潜力永远不会成为现实。潜在无穷大由无限多种划分特定对象的方式组成,但是这些方式只能一一变为实际。如果将摇杆分为三部分,则可以将其分成六部分,但两种划分方式不能同时进行。

因此,对亚里士多德而言,物质世界并不将行为划分成无穷无尽的部分。根据其划分的部分的数量非常大,但该数量是有限的 每一刻。但是,从可以及时进行无数次除法的意义上讲,它是无限可分的。对亚里士多德而言,无穷大在数学中也不具有重要作用:数学家总是处理确定的大小和图形,因此是有限的。他解释说, 物理 :“实际上[…]他们[数学家]不需要并且不使用无穷大;他们使用想要的大小,但数量有限。但是,对非常大的数量进行的划分可以随意应用于其他数量:对于演示,实际上,实际数量只具有很小的重要性[…]。 ”

Un univers 无穷

在中世纪,亚里士多德的立场强加于人。然而,学者们提出了关于无限的原始思想。在这种意义上,让我们提到两种分别称为的无限类型之间的区别: 无穷 绝对的 无穷 虚。这种区别已经存在于西班牙的医师,哲学家和逻辑学家彼得(1220-1277,教皇约翰 xi 从1276年开始)。正在使用 绝对的,则将“无限”一词统称为“示例” homines 无穷ti currunt »:集体考虑的无数人奔跑。正在使用 另一方面,从分配的意义上来说,术语“无限”是指: 无穷ti homines currunt 意味着有些人奔跑,但没有那么多,以至于其他人也无法奔跑。西班牙的彼得解释了以下区别:

[…] 一方面可以用一种绝对的方式来考虑无限,因为它是一个通用术语,因此它表示事物主体或谓语的数量,就像有人说的那样:世界是无限的。另一方面,它可以被认为是动态同步的,因为它不是说主语或谓语事物的数量,而是主语与谓语的联系方式,因此不是通用术语,而是一种安排。主题和分配标志 […]。

简而言之,绝对无穷大就是无限大 当前 (等同于所有术语),而无限 无限 潜在 (等于比通常分配的术语更多的术语)。随着人本主义和文艺复兴的到来,当前的无限性已被自然接纳。德国神学家,学者和哲学家尼古拉斯·德·库斯(Nicolas 的 Cuse,1401-1464年)对于接纳所创造的宇宙的无限性仍然存有一些担忧。基本的问题是要区分被造物的无限性和上帝的无限性。库斯的尼古拉斯这样写道: De docta ignorantia(来自学问的无知,1440):

实际上,无限的任何部分都是无限的。因此,如果我们发现更多的东西,至少在到达无限的地方,就会有矛盾。就像他们无法同意无穷大一样,无穷无尽也变得越来越少,因为即使那也必须是无穷大。实际上,在无穷大的情况下,“两个”小于“一百”并不是真的,因为通过上升一个就可以起作用,直到无穷大为止,因为由无限线组成的无限线是错误的2英尺的距离小于由4英尺的线组成的无限线。 […] 单独,绝对最大值 [神] 是负无穷大 [从否定神学的意义上说是无穷大,根据神无神论,神既不是父亲,也不是儿子,也不是圣灵,而只是无限的],这就是为什么他一个人才能无所不能。但是,由于宇宙包含了所有非上帝的事物,因此它不可能是负无穷大,尽管它没有尽头,因此是一个私人无穷大。考虑到这一点,它既不是有限的也不是无限的.

换句话说,对于Cuse的尼古拉斯来说,绝对最大的神是无限的。他创造的宇宙既是有限的,因为它是由不会延伸到无穷大的物质组成;又是无限的,因为它在行动上没有局限性:“一个人不能表现出更大的东西来终结它”。但是,由于宇宙包含的所有事物都不是上帝,因此不可能与上帝相同。这是一个无限的说 私人的。因此,尼古拉斯·德·库斯(Nicolas 的 Cuse)无法决定宇宙的有限性或无限性。

在意大利哲学家乔治·布鲁诺(Giordano Bruno)(1548-1600)中也可以找到类似的担忧。与尼古拉斯·德·库斯(Nicolas 的 Cuse)不同,布鲁诺(Bruno)选择了一个清晰无穷的宇宙:它是有限部分的无限集合,上帝反对的是有限部分,他的每个部分都是无限的。对话中 无限,宇宙与世界,布鲁诺通过菲洛特欧(Filoteo)的性格表达了自己:

我说宇宙是 tout 在tier 无穷,因为没有边距,期限或表面;我说宇宙不是 totalement 无穷,因为我们可以接受的每个部分都已完成,并且在其中包含的无数世界中,每个部分都已完成。我说上帝,他是 tout 在tier 无穷,因为它从自身中排除了每个术语,并且它的每个属性都是一个且是无限的;我说上帝,他是 totalement 无穷,因为他所发现的一切都可以在整个世界中以及在每个部分中无限地,完全地找到:与宇宙的无限性不同,它完全存在于所有事物中,而不是存在于这些事物中 部分 (如果确实通过提及无穷大,它们可以称为部分),我们可以在这一部分中理解.

什么是直线?

我们已经看到笛卡尔 原则,已录取 物质层的存在分为无限的行为 (看到 “单子”,第96页)。莱布尼兹通过将当前无穷大扩展到 所有 物质:物质的每个部分又分为无穷多个部分。随着过程无限地自我复制,我们永远不会到达点元素,也就是说,原子:分裂总是产生出我们想要的小部分,这些部分总是具有“聚集体”的性质。为了说明他的立场,莱布尼兹诉诸于一个类比:他将物质的这种无限划分与直线和属于直线的点之间的关系进行了比较。

任何直线段都不由点组成,而是由其他较小段的无穷大组成。同样,任何物体都由其他物体组成:零件的集合 ad 无穷tum 而不是物质原子。因此,在我们看来,日常体验中是连续的(桌子的边缘,木尺,镜子的表面等)实际上是零件的结合。 连续的 (即接近),由其主导的单子和我们的知觉活动结合在一起。

在1705年10月写给De Volder的一封信中,这一点得到了澄清:“实际上,物质不是连续体,而是离散成无限行为”(GP 2,第278页)。三十多年前,莱布尼兹实际上以相同的方式表达了自己:“因此,物质是一个离散的实体,不是连续的,而是仅是连续的,并且通过运动或某种精神而结合在一起” (A VI,3,第474页)。每次 t,构成宇宙的物质对象的质量按照确定的方式分为无穷大,只有一个:在接下来的瞬间 t +1,除法模式可以改变,但是我们得到的部分也是无限的。换句话说,正如莱布尼兹(Leibniz)所指出的那样,对于无限小幅度的任何部分,总会有另一个“下”,甚至更小。

但是,与直线的类比有一个局限性:虽然实体没有在适当的意义上形成连续体,但由于它是抽象的几何实体,因此该直线决定了连续体。莱布尼兹在这里与众不同 现实领域 理想领域。我们将看到,这种区别是莱布尼兹解决方案定义连续体问题的基础。首先,让我们看看为什么莱布尼兹坚持认为这条线不包含点。莱布尼兹(Leibniz)从他在巴黎的逗留归来,可能是因为 迷宫 的 Libert Fromond提出了两个论点,两者合计排除了要点。

第一个参数是: 任何给定的段都不能由有限数目的不可分点组成。考虑一个细分 AB。 可以将相等的部分划分为与相等的部分一样多的部分,该相等的部分划分了大于它的任何段。是 光盘 这样的部分大于 AB 并与后者平行 (见图) a 第103页)。画线 D B :他们在某一点相遇 E。然后分开 光盘 等分,假设100,并用 碳纤维 的百分之一 光盘 。最后画线 英孚 :这切段 AB 在一个点上 G 决心。

三角形 自动包围曝光 CED 相似,三角形也相似 AEG这个F。所以我们有比例 股份公司 : AB = 碳纤维 : 光盘 ,从中我们推断出 股份公司 : AB = 1:100(碳纤维 成为 光盘 , 股份公司 也与 AB)。现在假设该段 AB 精确地由99个点组成:根据上述内容,可以将其分成可分割的尽可能多的部分 光盘 。换句话说,如果 光盘 分为100个相等的部分 AB 它也必须分为100个相等的部分。金 AB根据假设,仅由99点组成。划分 AB 因此,每100个部分中必须包含组成该点的任何部分的一部分或一部分,这是不可能的,因为根据定义,这些点是不可分割的。因此,有限长度的任何段都不由数字组成 完了 点。今天的数学家会说,莱布尼兹的假设是错误的:任何线段都由无穷多个点组成。

整体大于部分

莱布尼兹的第二个论据如下: 有限长度的任何线段都不由无数个点组成。 考虑矩形 LMPN(见图) b 第103页)。绘制将顶点合并的对角线 MN,然后所有与该段平行的段 LN 通过点 LM。相似之处 LM NP,匹配两条线的点。在点上 A 分割 LM 符合重点 B NP, 在点上 C D等,而每个段平行于 LN (在 MP)在确定的点切割对角线。

如果我们推迟一面 LM 在对角线上 MN,我们看到那边 LM 构成对角线的适当部分。但是,与 LN 通过点 LM 匹配每个点 LM 与每个点 MN ;随之而来的是 LM 和对角线 MN 矩形的也是由相同数量的点组成。为了说明这一点,让我们诉诸荒谬的推理。假设组成对角线的点 MN 比那些组成一方的人更多 LM。然后至少有一点 G MN 它不与之平行 LN。如果我们尝试绘制平行于 LN 经历 G,她会见面 LM 在一个点上 K NP 在一个点上 H,但这些要点 KH 与从中得出平行线的点相比,只能是“新”点,也就是说,与这些点相比 A, C, E等的 LM (分别 B, D, F等)。这与以下假设相矛盾: LN 绘制了每个点 LM.

因此,与 LN 拦截这么多点 MN LM :因此,侧面 LM 和对角线 MN 由相同数量的点组成。如果这个结论是正确的,那么我们将面临一个案例,该案例不能证明公理总是大于其所包含的部分: LM 是细分市场的适当部分 MN 却拥有与他相同的分数。然而,莱布尼兹不准备接受这一结果。它只有一个根本的解决方案:认识到点并不将线段(或线)组成部分。

莱布尼兹拒绝放弃整体和部分原则,是因为他坚信自己拥有这一原则的严格证明(在公共场合和私人场合都多次被定罪)。维持这一原则标志着莱布尼兹的无限概念与将在下半年盛行的概念之间的差异。 ixe 与数学家乔治·康托尔和理查德·德金德在一起。根据这些,给定集合是无限的,如果我们可以将其元素与其自身部分之一一一对应。例如,Dedekind 扎伦(Sahlen)死了吗?(数字。它们是什么,它们用来干什么? 1887年)申明:“一个系统 S 如果它类似于其适当部分之一,则被认为是无限的[…];否则,我们说 S 是一个有限的系统。 “相似”在这里表示整体元素和部分元素之间存在一对一的对应关系。

莱布尼兹从他对无穷大的推测中得出了另一个结果:在物质部分无穷大的情况下,就像在无穷无尽的数学实体的情况下一样,无穷的集合本身并不构成一个完整的总量:一个集合不是全部的集合其成员同时采取。对于莱布尼兹来说,实际上,如果汇总本身就是一个完整的整体,那么它应该有最后一个要素。如果聚合是一个无限的总数,则最后一个元素应对应于较大的数字。但是,不存在最大数目的所有数字,因此无限聚合不能具有最大数目。在这里,我们认识到与中世纪同步无穷大论的几种类比。

当莱布尼茨(Raibniz)考虑到侧面和对角线之间的关系时,意识到提供了伽利略提出的另一种示例。伽利略曾观察到,自然数的平方比自然数的平方少,但是有可能将平方和自然数一一对应。因此,正方形与自然正方形一样多。莱布尼兹通过使用这样的论点反驳了推理,该论点使他能够证明无限聚合本身并不是一个完整的整体:他反驳说有许多个数,并且断言“这一概念暗示着矛盾”。如果我们谈论的是所有平方的数量和所有数字的数量,我们如何避免使用诸如“更大”,“最小”,“部分”和“全部”之类的概念?根据莱布尼兹(Leibniz)的说法,存在所有数字或所有平方数的想法是错误的。有某些概念的性质使得它们“即使是它们自己的类型,也无法做到完美,绝对和最大”(A VI,3,第551页)。这就是数字和移动:因为没有最大数量的东西,所以没有所有移动最快的东西。

从真实到理想

通过将真实球体与理想球体区分开,莱布尼兹认为他已经解决了连续体迷宫带来的问题,包括对人体中无穷小特征的刻画。连续体迷宫是由真实连续体(即我们所看到的连续部分)与数学或理想连续体之间的混淆引起的。通过以与数学连续体相同的方式构想真实连续体,我们将数学连续体的性质不适当地转移给前者,从而使没有理由存在的问题得以生存,例如确定体内无限小类的现实存在的问题。 。

莱布尼兹在1698年给让·伯努利的一封信中提出了真实和虚构(或“理想”)两个领域之间的区别:

毫无疑问,我们构想的无限和无限小都是虚构的,但能够像虚构的根一样确定真实的事物。它们存在于理想的区域,在该区域,事物依法治国,即使在部分物质中未发现它们。 (GM 3,第499页)。

莱布尼兹(Leibniz)在1705年的文本中对这一区别进行了理论解释,他在其中进一步阐明了连续体迷宫所基于的歧义:

在理想状态或连续状态中,整体位于部件之前,就像算术单元位于划分部件并可以任意分配的分数之前一样:部件仅是潜在部件。但实际上,简单先于集合,部分是实际的,它们先于整体。这些考虑消除了连续体的困难,这些连续性假定连续体是真实的东西,并且在任何分裂之前都包含有一部分,并且该物质是实质。因此,我们决不能将扩展视为由点布满的连续真实空间。它是关于能够满足想象力的小说,但是其中没有理由。 (GP 3,第622-23页)。

莱布尼兹(Leibniz)非常清楚(将他与当时的大部分数学家区分开),将无穷小性质的问题与微积分的实际用途分开了。对于第一个,他的回应是否认无穷小是真实存在的。第二,他断言要将它们接受为数学实体,它们与代数中的虚数根具有相同的效用就足够了。

从莱布尼兹与让·伯努利的往来中我们可以感觉到,他在让对话者理解真实(连续)连续体与理想连续体之间的区别时遇到的所有困难。在伯努利看来,莱布尼兹通过微分的发明和传播,正确地授权了无穷小(或无穷小)概念的使用。莱布尼兹断言物质被划分为无穷大,因此只能接受无穷小。现在,他驳斥了这一后果:“尽管我们实际上可以承认,没有一部分物质没有划分为行动,但是并没有随之而来的是,我们达到了不可分割的元素,或者是最小的部分,或者是无限的。很小,但永远很小,却又是普通零件……”(GM 3,第524页)。

为了了解莱布尼兹的立场,伯努利将讨论转移到了一个具体的例子。伯努利说,假设任何给定的数量根据几何级数分为几部分:1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...如果项数是有限的,那么各个项也肯定是完成。 “但是,如果所有术语都在行动中存在,那么也将有一个无限的小数,并且所有连续的术语将具有无限小的幅度。 “简而言之,伯努利注意到莱布尼兹的立场前后矛盾:”您承认物质的一部分被划分为多个部分,但您否认这些粒子中的任何一个都可以无限小:这些陈述如何保持一致? (GM 3,p.529)。

对于这个异议,莱布尼兹回答:“关于无穷小的问题归结为证明您已经提出了这个命题:如果一系列术语,例如1 / 2、1 / 4、1 / 8、1 / 16等。是无限的[数量],则存在一个无限的小数。如果它们中的每一个都是有限的,并且与第一个相距一定数量的间隔,那又为什么呢?我看不出有什么能阻止设想一个仅由有限量级的项组成的序列,但是这些项的数量是无限的(GM 3,第560页)。

莱布尼兹将在随后的一封信中再次解释组成身体的各个部分的“无限多个”,“不会产生一个数字,也就是说不会产生一个整体”。它仅表示“ [系列中]的术语多于可以由数字指定的术语,就像一个具有所有数字的集合(即集合)一样,然而,这不是一个数字且唯一”整体”(GM 3,第575页)。

莱布尼兹的推理可以用这种方式重构。假设一个物体由无限多个部分组成,按照以下顺序:1/2 + 1/4 + 1/8 +…+ 1/2n +…与该系列相对应的序列由无限多个项组成:1 / 2、1 / 4、1 / 8、1 / 16,…,1/2n,...,每个都有特定的大小。特别是什么时候 n 增加时,该项的大小趋向于零。可以将序列中的每个术语与自然数匹配。但是,尽管序列中的项数是无限的,但这并不意味着存在一个确定的自然数,该自然数的大小对应于“所有项数”中的无穷大(“所有数中的最大”)。延续”。莱布尼兹解释了他的观点:

我们可以怀疑是这样的:给定十个项,我们给出第十个,因此给定无限项,我们给出无限小 […]。并以同样的方式得出结论:在十个数字中,我们给出了最后一个,这是其中最大的一个,因此,即使在所有成员中,我们也给出了最后一个,这是所有数字中的最大一个;但是,这样的数字对我来说意味着一个矛盾 (GM 3,p.566)。

如果存在最大数字,则组成该序列的所有数字中的“多个”将是“单个整数”,但事实并非如此。序列的无限项构成一个集合,本质上不是单一的,不是整体的事物。因此,序列中都不存在对应于“最终”项的最小数量。

简而言之,物理连续体(或者更好的是物理连续体)在每个时刻都以唯一的方式被分解为无限的部分。另一方面,数学连续体具有潜在的特征:它只能被整除,并且能够以无数种方式进行划分。从本体论的角度来看,数学连续体具有理想的性质:它是从对物理连续体的感知和理想化中得出的抽象。因此,物理连续体的存在是理想连续体存在的条件。理想连续体的数学处理允许使用简单的小说,例如无穷小。另一方面,在真正的连续体中,这种小说是不允许的。


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