科学史

阿基米德

如果阿基米德上的许多轶事赞扬机械师和工程师,那么他们对验船师的帮助就很小。但是,他在这一领域的工作是迈向微积分的第一步。

伯纳德·维特拉克 科学天才N°21
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在我们时代之前的264年,罗马人以徒劳的借口入侵西西里,面对定居在岛西的迦太基人。随后的战争-第一次布匿战争-持续了二十多年,最终导致迦太基人的失败和罗马人统治西西里岛的大部分地区。然而在东方,在锡拉丘兹(Syracuse)周围,希隆国王(King Hieron)巧妙地集会到罗马人手中,利用这种情况使他的小王国繁荣了起来。他在位54年,直到215年去世,享年92岁!但是迦太基人想报仇,在218年,汉尼拔离开西班牙,与他的军队越过了阿尔卑斯山。第二次布匿战争开始,以迦太基的进一步失败和罗马人从意大利的扩张开始而结束。西西里岛介于两个对手之间,但是直到希耶罗去世,锡拉库扎仍然忠实于与罗马结盟。然后,反对罗马霸权主义的城市盛行,与迦太基缔结了协议。 214年,罗马领事马塞勒斯(Marcellus)袭击了这座城市,希望在几天内加快这一事件。波利比乌斯说,他失败了,因为阿基米德设计了战争机器和战争。领事围攻了这座城市,这座城市在212年沦陷;验船师已经老了,在随后的抢劫中丧生。无数艺术品被运到罗马。据说从这一集开始,罗马人就对希腊艺术产生了敬佩。

这些戏剧性的情况解释了数十位各种类型的作家,历史学家,诗人,数学家,医生,哲学家,神学家和各种各样的散文作家对阿基米德之死的丰富证词。在很早的时候,阿基米德的生活和性格就成为奇妙或令人振奋的轶事的主题。因此,他的传奇般的分心使他忘记了吃饭或洗澡。他被一场示威迷住了,甚至没有意识到锡拉丘兹的沦陷。

对于某些情节,我们有几种不同或矛盾的版本:每位作者仅保留符合其目的的内容。因此,对于历史学家波利比乌斯(Polybius)-在事件发生仅十年后诞生的历史而言,锡拉丘兹被围困的故事是一次彰显杰出个人的决定性作用的机会,而柏拉图式的作家,哲学家切洛涅(Céronée)的普鲁塔克(Plutarch)(46 -120)将其重新解释为灵魂(阿基米德人)和身体(其他雪城犬)的对立面。演说家兼政治家西塞罗(Cicero)首先寻求清除罗马人对这位杰出科学家的谋杀:他也对锡拉丘兹的围困和俘获保持沉默。

他更喜欢唤起两个天球,包括由阿基米德建造的移动天文馆,引起了极大的钦佩。再次强调这是胜利者马塞勒斯授权自己拿走的唯一战利品,后者是在美德神庙中奉献的两个地球仪之一。西塞罗本人-他在西西里岛担任副总裁(负责公共资金的管理)时-以某种方式教了锡拉库萨人一堂课,并找到了被他的同胞所忽视的阿基米德荣耀。通过引用归因于他的发明,医生,地理学家,建筑师或测量师证明了他们的文化程度。这样的神学家唤起了阿基米德天文馆,暗示了宇宙创造者的可能性,这是一种宇宙力学机制,证明了上帝的存在!这些无数的报价告诉我们更多关于他们的作者的信息,而不是关于阿基米德的生活。因此,我们知道他是天文学家菲迪亚斯(Phidias)的儿子,不是由于他们,而是阿基米德本人,他偶然地告诉我们 竞技场.

工程师还是验船师?

阿基米德在至少四个数学专业中发挥了他无与伦比的才能:几何,天文学,力学和光学。但是,如果锡拉库桑人无疑是古代最著名的科学家,那么作为一名测量师,而不是作为一个“工程师”,它就不那么重要了。很少有作家(最多十个人)是数学家,而很少提及他的理论著作,尤其是几何著作。如果他在人们的眼中受到永恒的钦佩,那是因为他被赋予了发明,或者制造了(有时是滥用)机器:战争机器(例如弹射器,蝎子,“起重机”,发光镜),螺旋螺钉,多滑轮系统,所谓的罗马秤,液压器官,天文馆...

这位天才和富有成果的发明家的肖像,可与某些神话中的专门神灵相提并论,并不能使所有人满意。传记作家普鲁塔克(Chaeronea)ier 世纪)致力于他的 平行生活 锡拉丘兹的征服者马塞勒斯。他描绘了一幅完全不同的图画,即阿基米德纯粹的几何形状,只感到鄙视技术和物质成就。 Plutarch的故事精彩而诱人。它是最完整的,即使不是最精确的,也经常被引用,有时我们会忘记它追求的目标:提升“纯”数学,贬低技术和技术人员的价值。然而,普鲁塔克不能抛弃传统的叙事方式,尤其是使用使他的前任着迷的战争机器。他解释锡拉丘兹(Syracuse)众多战争机器的存在的方式值得绕道而行:他首先断言,对阿基米德来说,这只是一场测量师的游戏,是国王下令的结果。希龙(Hieron)因此敦促他在好人中间普及他的科学。接下来是Archytas和Plato时代的机械学起源之旅,但并不因其相关性而发光。 Plutarch将近似几何的解决方案与要求几何曲线的分辨率混淆,或要混淆。

然后,他继续讲述他的故事,告诉我们阿基米德实际上是主动写信给国王,他的亲戚和朋友。他在信中说:“如果还有另一个地球可以站立,我可以举起这个地球。因此,他认为给定的力可以移动任何重量,无论其大小有多大,这都是某种双曲线的方式,与某些著名的断言相矛盾。 物理 亚里士多德,特别是低于某个阈值,机械功率没有影响。

国王很惊讶,会要求机械师对他的原理进行实际演示。 Plutarch继续讲述阿基米德传奇的另一个著名故事:拖船。在此版本中,一艘非常大的船被拉上岸,但要付出大量劳动力的巨大努力。船上载满了人和货物,但是阿基米德,由于有几个滑轮的系统使坐着的力和坐着的姿势倍增,力可以毫不费力地将船滑向他混蛋!这样的成功令Hiero惊讶,他雇用了阿基米德制造战争机器。

无保留地接受Plutarch的帐户。对于所有这些轶事,我们有不同的版本,并且不可能知道这个或那个细节是否对应于“现实”。因此,雅典娜(Athenaeus)和普罗克鲁斯(Proclus)为我们提供了有关这艘船的以下故事:希隆(Hieron)拥有宏伟的疯狂。除了一个长约200米,宽24米的祭坛外,他还建造了古代最大的轮船, 锡拉库西亚,他想将其装载到2000吨的托勒密国王手中。锡拉库桑人聚集的全部都无法将船沉入水中。多亏了一种机制,阿基米德才允许希隆独自将他移到港口。处女航结束后,耶隆将其捐赠给托勒密:亚历山大港是唯一能够接收它的港口!

Proclus并未详细说明该机制的性质,但Athenaeus将其描述为蠕虫,是由阿基米德发明并由“少数人”发起的蠕虫。普鲁塔克(Plutarch)任命阿基米德为国王的亲戚,而其他人则强调王位的谦逊;他还声称阿基米德没有为他的机器和发明写任何东西。他也在那里与其他来源相矛盾,包括维特鲁威和帕普斯。无论普鲁塔克(Plutarch)怎么说,似乎阿基米德都像后来的文艺复兴时期的工程师一样寻求国王的赞助。这与作者的蔑视归因于作者 马塞勒斯的生平.

普鲁塔克(Plutarch)所描绘的肖像符合他在帝国时代激烈辩论中所保持的立场(ier-ii e 一个世纪以来),关于力学的地位:对于普鲁塔克(Plutarch)来说,力学是几何的退化。通过强调阿基米德对技术的蔑视以及其理论著作无与伦比的质量,普鲁塔克将阿基米德置于自己的阵营中。

轶事致敬

非常不寻常的是,现代主义者经常以Chaeronea哲学家对他那个时代最完整的学者之一,工程师和测量师的轻描淡写的观点来表扬。实际上,从这样的轶事中重建著名数学家的传记是一种幻想。似乎只有一件事是确定的:这些轶事构成了与锡拉库萨人的力学工作相关的如此众多的科学“大众化”练习。告诉阿基米德声称举起地球或建造机器(多个滑轮?蠕虫?)允许船舶单独移动,这是要说明杠杆定律的理论普遍性或力向其施加力的可能性。 '使用齿轮。令人信服的王冠的轶事,带着哭泣的裸体阿基米德浴场意外退出 尤里卡 (“我找到了”)呼应了他的静液压工作,以及仍然享有他名字的著名原理的发现 (请参见第77页的引文)。火热的镜子的晚期传说使他能够纵火马塞勒斯的舰队,这与光学研究有关。我们从教区(Diocles)知道,他的通讯员Dositheus进行了镜子的构造,使得面对太阳放置时,其表面反射的光线在一个点处会合并燃烧(即镜子抛物线)。传统是对还是错是毫无疑问将锡拉库桑的同等成就归功于他的天才规模,而不用考虑其合理性...

亚历山大的阿基米德?

Plutarch对可疑或领先的索赔没有垄断权。西西里岛的狄奥多罗斯(Diodorus),历史学家 ier 在我们这个时代之前的一个世纪,曾两次提到由一种螺旋桨制成的机器,该螺旋桨插入圆柱管中,用于提水。他说,它们在埃及用于灌溉尼罗河三角洲未被河流淹没的部分。他还提到了它们在西班牙矿山中用于疏散地下水的用途。据狄奥多罗斯(Diodorus)所说,他们的力量是如此之大,以至于人们可以从大地深处引到整条河。并指定其名称是“ Egyptian helix”,因为它们的形状。实际上,蠕虫的希腊文名称是 科赫利亚斯,也表示蜗牛形的贝壳。最后,他确认阿基米德是其发明者。其他作者,包括拜占庭的机械师Philo,热衷于技术历史的建筑师Vitruvius和地理学家Strabo,也提到或描述了该设备。但是,没有一个发明涉及阿基米德。为什么仅狄奥多罗斯(Diodorus)这样的归因?

当然,锡拉丘桑人作为机械师的名声允许不确定地提供慷慨的归属,特别是当它涉及五个所谓的简单机器(绞盘,杠杆,滑轮,楔形物和蠕虫)之一时)。但是,在这种特定情况下,狄奥多罗斯(Diodorus)或他的消息来源可能一直试图在优先权争吵中加入一个论点。实际上,对于波格(Perge)的著名作者阿波罗尼乌斯(Ppol) ,这个传统毫不犹豫地指责他having窃阿基米德。现在我们可以肯定地知道,阿波罗尼乌斯(Apollonius)专门写了一篇关于几何曲线的文章, 科赫利亚斯,也就是说是圆柱形螺旋桨。那里没有什么机械性的,但是声称阿基米德发明了这种蠕虫是捍卫锡拉库桑人的知识优先权的一种方法。伟大的科学家之间的竞争也许滥用了狄奥多罗斯,但对他而言,本质是其他地方。这是将机器的名称和阿基米德两个元素相关联的问题。因此,狄奥多罗斯(Diodorus)补充说,他是在埃及逗留期间发明的!

这种见证是独一无二的,但是现代主义者普遍接受甚至加强了这种见证:锡拉库桑当然是在亚历山大保留下来的,这无疑是值得研究的。并推测他是否能够在那儿见到欧几里德……我们寻求证实他以重要的科学往来与亚历山大三人的来往,亚历山大三人在拉各德首府的过境是毋庸置疑的:科农萨摩斯岛,Pelusa的Dositheus和Cyrene的Eratosthenes。现在,只要阅读他的序言就可以知道阿基米德在书信关系开始之前既不了解Dositheus也不知道Eratosthenes。他之所以向他们讲话是因为他已经听说了他们对数学的兴趣以及他们在这一领域的能力:他是因为共同的朋友科昂(Conon)的去世而写信给Dosithée的。就Eratosthenes而言,阿基米德的选择可能是由于图书馆员的公职所激发的。

因此,仍然存在阿基米德亲自认识的Conon,而且可能已有很长时间了。学生们,他们是否已经厌倦了亚历山大的步伐?该假设毫无用处,因为我们知道Conon来西西里进行天文观测:他们的见面和友谊很可能会回到这次逗留。正如我们所看到的,因此没有理由假设从阿基米德到亚历山大的任何旅行,并且朝着这个方向前进的唯一来源是影像学重建。

Eudoxus的门徒

阿基米德在序言中没有告诉我们他的学徒制。他没有引用任何大师。除了父亲天文学家菲迪亚斯,他还有别的吗?不确定。然而,正如我们所看到的,数学著作正在流传。锡拉库桑人曾多次提及“古代几何学”,并在其中选择了一种模型:Cnidus的Eudoxus( ive 世纪)。这个人,测量师,天文学家,地理学家和立法者本可以参加柏拉图学院的,然后在Cyzicus建立了自己的学校。在几篇序言中,阿基米德强调了Eudoxus某些结果的重要性。特别是,他将第一笔证明归因于他的两个结果,对我们来说,这是第十二卷 元素 :“任何金字塔都是棱镜的底面与金字塔相同且高度相等的第三部分”(根据XII-7推论),“任何圆锥体是圆柱的底面与锥面相同且高度相同的第三部分”( XII-10)。阿基米德在其序言中所作的陈述与第十二卷的陈述如此接近,以至于人们都想知道,锡拉库桑人是否没有援引欧几里得的陈述,即使是要指明发明人是Eudoxus。

阿基米德和尤多克斯的作品在解决同类问题方面非常接近。他们的主要研究结果涉及具有曲线元素(圆形,螺旋形,圆锥形,圆柱体,球体……)的图形的正交或小数。以不合时宜的方式,我们可以将它们解释为积分演算的相当特殊的结果。其中一些正交和空缺是绝对的:仅凭它们就可以估计所考虑图形的面积或体积。因此,金字塔上Eudoxus的结果可以计算其体积。同样,阿基米德证明抛物线的线段等于具有相同底和相同高度的三角形的三分之四。 (请参阅第74页的方框) ;已知三角形的面积,我们推导出抛物线段的面积。

但是,结果通常以相对方式表示:如果我们知道圆柱体的体积(圆形底座乘以高度的乘积,那么我们只能在当时底座的面积为给定或求解圆的平方),那么我们知道了圆锥体:取第三个就足够了。同样,锡拉库桑人表明,外接球体的圆柱体的体积是后者的体积的一半半,其侧面等于球体的侧面,即大圆的表面的四倍。

同样,这些等式不能对面积或体积进行有效的估计,而不会平方圆。可以理解,阿基米德解决了这个特别困难的问题,至少与希波克拉底的希俄克拉底一样古老。在他的序言中 抛物线平方,Syracusan暗示了较早的尝试使圆及其圆角平方的过程,但未命名名称,但断言它们是基于不允许的引理。他承认自己在抛物线段上的结果(以及在球体,圆柱体或螺旋线上的结果)也依赖于引理(用现代术语来说,这是引理的特例)连续性公理,此后被称为“阿基米德公理”, 请参阅第76页的方框)。但是,他强调说,后者与包括Eudoxus在内的某些以前的几何图形所使用的图形具有可比性:雪城人似乎担心他的通讯员Dositheus所表现出的严谨性。因此,他强调说,他的研究结果与Eudoxus的研究结果可以被接受。因此,除了调查主题之外,它们的方法之间还存在一定的技术关系:它们使用相同的方法,因为这种方法被不恰当地称为“穷举法”。 vie 世纪 (请参阅第76页的方框).

圆和螺旋

除了这几个例子外,阿基米德最著名的成果还涉及到圈子。他给他订了条约, 圆的尺寸。不幸的是,只有一种经过修改的摘要才传给我们。 Pappus引用的有关圆弧段的一些结果已经消失。命题2和3的顺序已经颠倒了,除非所说的命题2只是在错误的位置插补的后造物。但是,仍然存在两个基本结果。

在第一个命题中,确定任何圆都等于直角三角形的直角边相等的直角三角形,一个等于半径,另一个等于该圆的周长 (请参见第 76)。示威构成了“精疲力竭”的证明标本,然后再两次减少至荒谬。如果假定圆大于或小于所考虑的三角形,则我们最终会产生矛盾。因此,它等于他。这个定理可能不是阿基米德发现的,而是重做的,它也是“归约”的另一个例子:由于我们知道如何对任何多边形求平方,所以我们将能够对三角形进行求和,从而对圆进行求值。但是,只要可以确定该三角形即可。现在,当给出圆时,也给出了半径(或直径),但是圆周的长度仍然未知。

换句话说,对圆进行平方的问题被简化为“校正”其圆周的问题:“找到与圆的圆周相等的线”。通过想象圆柱在平面上滚动,我们可以说服它存在。旋转一圈后,平面上描述的接触点的长度为圆柱体底部圆周的长度。但是,问题不是要知道是否存在这样的段,而是要以有效的方式确定其长度。让我们用不同的方式来表达这个问题:“找到直径与圆周的比值”。用现代术语,找到(实)数π。

在他的论文的第三个命题中,阿基米德比较了同一个圆的直径和周长。为此,他将圆的边为6、12、24、48、96的多边形外接,并通过熟练地处理近似值和不等式,得出圆周小于直径乘以七分之一的直径的三倍。然后,他以同样的方式处理圆内接的多边形,他发现它大于直径10/71的三倍。用现代的术语来说,是3 + 10/71 < π < 3 + 1/7.

该框架提供了一个非常方便的近似值:圆的周长大约是直径的(3 + 1/7)倍,或直径的22/7倍。准确度在0.2%的范围内,这还不错。当然,由此可以为圆的面积建立近似的计算程序。通过合并两个结果 圆的尺寸,读者检查一下,圆形面积的11倍大约是直径上描述的平方的14倍。然后,他可以对球体的表面(因此对圆柱体),然后对圆柱体的体积(进而对球体,圆锥体等)的体积进行相同的处理。Héron和Théond'将使用此类近似算法。亚历山德里亚。

但是,该论文没有解释如何有效地构造一个等于圆的圆周的段,这限制了第一个命题的范围。 圆的尺寸。此事使评论员Eutocius d'Ascalon及其中世纪的继任者感到尴尬。有些人会简单地假设存在一个等于圆周长的线段。有点结实。 Eutocius试图说服他的读者这种存在。他还指出,阿基米德说他找到了一种使用某些螺旋线产生这样一条直线的方法。但是,Eutocius显然没有找到任何痕迹。换句话说,他没有加入阿基米德条约 螺旋形。这项工作说明了希腊数学中最复杂的部分之一,即曲线的几何形状。

螺旋线是由阿基米德提出的,它们是这样说的:“当一条直线在一个平面中均匀旋转时,它的一端保持固定,然后返回到其初始位置,同时,在该直线上循环地移动,一个点从保持不变的点开始均匀移动,该点将描述平面中的螺旋” (请参见上方方框).

然后,锡拉库桑人运用《圣经》第五卷的比例理论 元素不仅涉及直线,而且涉及旅行时间,这使他能够比较不同物种的两种运动,从而表达与螺旋线相关的圆的某些弧与某些笔直段之间的关系。

在18e 命题,它将切线引入螺旋 (上方方框中的HF) 在与第一次旋转对应的点H处,并与另一条直线AF关联,随后称为次法线。政变:阿基米德证明这条直线AF等于第一个圆GHK的圆周!螺旋线可以校正圆并因此将其平方。

也就是说,解决方案只能解决问题:采用像螺旋这样复杂的曲线是否合法?当然,它只是两个简单的匀速运动的组合,一个是旋转运动,另一个是直线平移运动。但是,如何绘制切线与螺旋线或更一般的曲线?这个问题不是那么容易,而且将会在 vie 世纪,微积分学发展的驱动问题之一。


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