数学

五角形路面:一个分类'améliore

已经提出了几次凸五角形摊铺机的枚举。每次,它都证明了不完整的。幸运的是,业余爱好者参与其中。

Jean-Paul Delahaye 对于Science N°432
本文保留用于科学用户

没有最终的数字的枚举;扰乱专业数学家确定性的家庭母亲的工作;一名日本研究员在研究金章基本谜的研究中,但不能解决它;一个糟糕的爱好者,它写了一个程序并改善了一个地区的结果,但是,许多研究人员尽最大努力;只有一个人在等待一个的最佳数字无限。这是五角形路面几何历史和新闻。

三,四五侧

通过等边三角形,正方形或常规六角形的计划的路面是熟悉的。任何三角形和任何四边形(凸面或不)都完美地铺平了这一事实 (见图1A) 少一点。立即想到的问题:五方面?换句话说:我们可以用Pentagons铺平计划,如果是的话,怎么样?

对于普通五角大楼 - 五个等方,五个相等的角度 - 我们到达那里......同意占用越来越减少尺寸 (见图1B).

我们将禁止这个诀窍,因为一切都没有兴趣:结果表明,当您接受不同尺寸的副本时,任何表格也都铺设了计划。

通过寻求将计划铺设了相同规模的常规五角形,一个人失败了。实际上,五边形的内角度为108°(180° - 360°/ 5);因此,不可能在一点左右放置一个普通的五角星的整数:放置三个五角星左右,我们获得324°,这是不够的;通过围绕一点放置四个五角星,它给出432°,它太多了!

对于普通五角大楼来说太糟糕了,还有很多其他人。埃及街道摊铺机知道,在不留下空的空间的情况下,有覆盖计划的五角星。 “开罗铺路”是用等边五角形制成的,其五面相等,但不是五个角度 (见图1c)。该五角大楼有两个90°和120°的角度。它是一个凸键盘:任何AB段,附着两个点A和B的路面留在鹅卵石中。

三个基本问题

非凸形(例如图1的蓝色四边形)复杂化了计划的路面问题。此外,在大多数问题中,我们只会考虑凸五边形。

然后出现三种类型的主要问题。

- 授权至少一个铺平计划的凸五角摊铺机是什么?

- 与合适的凸五角形摊铺机的平面可行的所有路面(相同的路面有时会导致几个非常不同的路面)?

- 由最经济的统一区域的凸五边形的平面路面是什么,也就是说具有尽可能小的周长?

这些问题都没有容易。如果已知产生宏伟的几何图数的许多结果,则最近只获得了许多人,许多是2013年持续存在的美丽谜题。

错误错误!

数学家顽固,有时如此说服,有一个问题很容易拥有一个解决方案,说出来并写它,并顽固地弄错了几次。凸五角形凸鹅卵石的问题是这种充足的一个例子。

1918年,在德国法兰克福大学的持续本文中,Karl Reinhardt介绍了铺平了五级凸的Pentagons (第79页的框中的1到5级) 并建议证明没有其他人是乏味的,而是轻松的工作。 50年来,数学社区仍然被说服了这个问题已经解决,没有兴趣。

然而,1968年,来自巴尔的摩约翰霍普金斯大学的Richard Kershner更仔细地恢复了研究。他发现了三个新的凸起的Pentagons铺设了这个计划 (课程6,7,8)。他写的是,它是缺乏空间,这可以防止它详细说明前五个课程和它刚刚发现的三个是它的完整列表,阻止了平方。

当1975年7月,Martin Gardner在他的数学游戏中展示了Kershner的结果 科学他收到了加利福尼亚电脑科学家Richard James的一封信,提供了一个新的课程 (10级) 这表明Kershner就像他面前的Reinhardt一样,在相信有详尽的名单中错了。

最惊人的尚未到来。美国玛乔里米饭 (见对方的盒子)读他儿子杂志的家的母亲看到了Gardner的文章告诉詹姆斯的r. james。它开始寻找铺平计划的新凸新的五角星。赖斯先生没有任何特殊的数学培训,但他的系统精神和小写的精心工作使得它发现专业人士遗忘了四个新课程 (9,11,12和13级).

1985年,发现了一个新的课程 (第14级) 来自多特蒙特大学的Rolf Stein。它争辩说,通过这一第十四个课程,它肯定会完成枚举......在我们发现它的完整性展示是假的。害怕以来没有人推进演示......

这14个课程是否唯一一个唯一的问题似乎尚未解决超过25年的问题:这似乎是一个很容易的问题,现在被认为是一个严峻的挑战。

2012年,日本数学家Teruhisa Sugimoto成功,与俄罗斯数学家Olga Bagina同时,证明有八级,不再,凸金章适合“侧面侧”路面。那是,那是,两个Pentagons接触通过顶点或每个完整的侧面互相接触。

这八个类是盒子中的1,2,4,5,6,7,8,9的类。 3,10,11,12,13,14的类别从不给路面侧面反侧。在1级的情况下,要具有侧面路面,有必要添加约束 a = d ;对于等级2,您必须添加 c = e ;课程4到9的所有PenGons都在没有互补条件的情况下生产侧面路面。

等边摊铺机

另一家定理推进了我们对凸五角形路面的了解。 1985年由Michael Hirschhorn和David Hunt展示(在计算机的帮助下),然后在2004年通过O. Bagina简化了,本定理规定了一个等边五角台铺设了计划,如果它属于以下三个之一类别:

在) 两个相邻的角度的总和为180°。

b) 两个非相邻的角度的总和为180°。

vs) 五个角度 A, B, C, D, 检查关系 A + 2B = C + 2 = A + C + 2D =360°.

唯一的课堂队列 C 有趣的是:它允许几个基本上不同的路面,其中一些是非周期性的 (见图2).

暂时,虽然我们知道许多非凸的五角星,但据我所知,甚至作为猜想,也没有人,甚至作为猜想,甚至可以完成这种五角形的列表。

凸五边形的三分类(其中两者被确定)构成了巨大的成功并解决了凸五角形鹅卵石的问题。然而,单个路面有时可以在许多方面可用,以覆盖该计划,即它给出了几次暂停,这些暂停不会互相带回。因此,图2的路面基本上不同,尽管用相同的五角形构造。我们知道如何分类凸五角形路面吗?至于鹅卵石,答案是双重的:是在最受限制的情况下,不在一般情况下。

isohedral路面

最受限制的情况是施加铺设的凸摊位器的位置,以相对于其他位置处于相同的位置。要了解它的意思,考虑图3的铺路,属于14级普查的8级。路面有两种类型的定位。

实际上,紫红色路面没有与黄色摊铺机相同的定位。例如,我们看来,通过注意到黄色的“房间山”在一边是“Pavé-house”颠倒,而“房子山”的麦子没有。另一方面,紫红色“HousePads”都有相同的位置,而黄鹅卵石也是如此。对于这种铺路,五角形路面存在两种类型的可能位置:这种铺设不是isohedric,当鹅卵石只有一种类型的位置时,这是一个所示的类别1至5的位置。盒子。

在更技术性的术语中,isoheDral铺路是铺路,其中平面的等异象(转换,旋转,对称性和这些变换的组成)允许不变的路面允许您从给予任何其他置的帕维馆切换。换句话说,当所有摊铺机都值得,铺砌的等物时,铺路就是铺路。

1977年Brankogrünbaum和Goeffrey Shephard展示了一个美丽而困难的定理,表明存在:

- 三角形的14个类别的isohedral路面,

- 56用于凸四边形,

- 24用于凸五边形

- 和13用于凸六边形。

On sait par ailleurs, d'après un résultat démontré la même année par Ivan Niven, qu'il n'existe aucun pavage par un polygone convexe à k côtés lorsque k > 6. Cela règle définitivement la classification des pavages isoédriques par des polygones convexes : il existe 107 types de tels pavages.

当铺路有两种类型的摊铺机定位时,如图3所示,据说铺路是2 isohedrical。通过Convex Pentagons找到所有类别的2 isohedral路面是一个难题。它仍然是一个业余的人,是第一个,提出了解决方案。刚近,仔细改变了系统的研究,荷兰JAAP Scherphuis(这也是一个充满激情的拼图收藏家,请参阅www.jaapsch.net/puzzles/)找到了97级铺路班2-isohedral凸的五角星站 (见到其中四个)见图4).

97路面列表,将在www.jaapsch.net/titting/上找到,仅包含宽大摊铺机的比例等于其他颜色的路面。即使似乎不太可能,也有路面,这些比例不相同。如果是,则必须完成J. Scherphuis的97路面的枚举。这个业余的结果正在等待确认。谁将证明97个2-Isohedral路面列表完成?

通过凸台球凸台也有3 isohedral路面:键盘可以占用三种不同类型的位置。这是铺路的情况,与第10类相关联,如图5所示.J.Scherphuis提供了许多其他人。

完全枚举所有类凸前沿铺路路面(IsoheDral,2- isohEdral,3- isoheStral等)是达到遥不可及的瞬间出现的目标。当我们成功时,它仍然需要考虑非凸的五角星。这足以占据恋人和专业人士多年。

最佳铺设

与五边形路面有关的第三个核心问题是有点不同的,而这一次,它几乎完全解决了。这是最优五角形路面的问题。

蜜蜂是几何,使用唯一最近显示的数学结果选择了他们的细胞的形状。根据蜂电池的猜测,单位的常规单元是单元的多边形,其给出了周长长度的最经济平面的单元。这种肯定,在我们的时代之前在36岁的Romain Marcus Terentius Varro找到了谁的痕迹,似乎几乎明显。它根本没有,只有在1999年由美国托马斯·哈尔斯展示,也以其开普勒的猜想证明在更密集的球体上。

如果有必要仅考虑统一区域的Pentagons的牧场,请询问与th的相同性质的自然问题。大厅:Pentagons的最佳路面是什么? (蜜蜂应该解决这个问题,如果Hex禁止他们!)。

答案于2012年由一支数学家团队收集在2012年,聚集在Ping Ngai Chung附近 麻省理工学院 。有一个惊喜:有几种最佳解决方案,而一个人只等一项。

如果我们施加所有铺路的铺路以具有相同的形状,就有两个解决方案 (见图6) :开罗五角形铺路的变种和棱镜五角形路面的变种(特定案例1)。

这两个摊铺仪中的每一个的区域单元的周边等于:2‰(2 +3)÷3.86。它优于一个团结区域广场的周边,这是4,但当然,虽然单位单元的常规单元的周长,但是根据大厅定理的单位单元的周边,不能被殴打)。

应该注意的是,对于五角形摊铺机来说是最佳的,必须采取五张侧面的长度,以便它们包含注册圈。这意味着在实践中必须引入三个常数来描述这些五角形。开罗五角大楼的最佳变体具有长度的一小一侧,其它四面为长度b。棱镜路面的最佳变型使得形成屋顶的侧面的长度是A,壁的长度是  b 并且基础的那个是c,所有这些都与:

a =(2/3)(6-33)= 0,5977 ...,

B =(3 +3)((2 - 3))/ 3 = 0.8165 ...,

C = 2(2 - 3)= 1,0353 ....

研究人员最令人惊讶的是,这两个最佳摊铺机结合并提供了这种在可变比例中使用这两个最佳五角形形式的其他最佳路面。各种组合是惊人的。

关于这种美好的结果,请注意,建议的演示假定鹅卵石是凸的。每个人都相信,揭幕五角形垫不能比发现的两个摊铺机更好(及其关联),但这不证明这一点。

铺路研究充满了陷阱。有必要等到1999年,以便我们展示了蜜蜂的本能智慧,这可能经常被误解在凸五角大楼课程(它尚未被证明完整),我们不能听非凸,或非isohedral五边形路面,这是鼓励数学家的谦卑,无论是耐心粉丝,专家程序员还是凶悍的理论家。

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