数学

总失调n'existe pas...

1933年,埃丝特·克莱因(Esther Klein)向一群数学家提交了一个几何难题。这导致了PaulErdös和George Szekeres的文章,Esther Klein和George Szekeres的婚姻,以及Sárközy的一个定理。

让·保罗·德拉海 科学N°376
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如果您在一张图纸上绘制大量点而未对齐其中的三个,则六个点将划定一个不包含其他点的凸六边形(见图2)。这种“不可避免的空六边形定理”比人们从阅读其陈述中所想象的要难得多。直到2007年,慕尼黑技术大学的Tobias Gerken和肯塔基大学的Carlos Nicolas才同时并独立地进行了演示。布拉格查尔斯大学的帕维尔·瓦尔特立即发现了更短的证据。

如果有足够多的点,则不可避免的是空的凸六边形。但是多少呢?我们知道,只有29分不足以保证空心六边形(由于乌得勒支大学的Mark Oversmars而得),而463分就足够了(由莫斯科独立大学的Vitaliy Koshelev于2007年证明)。很难具体说明,挑战对任何人都是开放的,包括编程爱好者,如果他们发现29个以上未对齐且没有空凸六边形的点的集合,他们将提高我们的知识。

空六边形定理的证明是基于同一个几何问题的解决方案,该问题被保罗·埃尔多斯(PaulErdös)命名为“问题,结果令人满意”。 1933年,埃尔多斯在布达佩斯与一些学生定期开会,讨论数学和其他学科。 Esther Klein曾经提出一个谜:

证明如果五个点以某种方式放置在一个平面上(即没有三个点对齐),那么就有四个点形成凸四边形的顶点。

Erdös和George Szekeres聆听了Esther Klein的解决方案,但并没有止步于此,一年后,他又推广并发布了以下属性:当在平面上绘制足够的点而不对齐三个点时,您会发现凸四边形的顶点,其中包括点,我们肯定会找到一个凸五边形,然后,还有几个点,还有一个凸六边形,等等。

数学公式为:

对于任何给定的整数n,都有一个整数N,因此放置在平面上任意位置的N个或更多点的任何集合(即没有对齐的三个点)都包含n个点的子集,这些子集确定凸多边形的顶点(其中可能包含其他要点)。

几何与婚姻

保证存在具有n个边的凸多边形的顶点的最小整数表示为g(n)。立即得出g(3)= 3。 Esther Klein证明g(4)= 5。我们还知道g(5)= 9(归因于E. Makai),g(6)= 17(归因于Szekeres和L. Peters)。除此之外,我们不知道g(n)的值。然而,Erdös和Szekeres证明:g(n)$ 1 + 2n – 2。今天我们知道g(n)#C(2n-5,n-3),其中符号C(n,k)表示二项式n!/(K!(N-k)!)的系数。

g(n)的第一个值表明,对于3中的所有n,g(n)恰好是1 + 2n – 2,但这是一个似乎非常困难的推测:没有人能够证明这一点。埃尔多斯曾经为那些使他感兴趣的猜想提供奖励:对他而言,猜想越困难,所提供的金额就越大。埃尔多斯曾答应支付500美元,以证明g(n)= 1 + 2n – 2.

因此,于1996年去世的Erdös永远不会支付这500美元,但请放心:Ronald Graham已接管他并承诺提供1000美元的证据(或对于n的某些值公式不精确的证据)。 。

最低订购量

确认g(n)的存在以及与g(n)的值相关的猜想的Erdös和Szekeres定理很有趣,因为每次它们都是陈述,表示最小阶是不可避免的。很自然地认为,布置成形成凸多边形的顶点的n个点构成了按点集合组织的岛,因为这样的集合构成了n点的一种圆形分组。 Erdös和Szekeres定理指出,一旦点数足够大且考虑的点数越大,则发现这些点的圆形分组越多,就必然会出现这样的有序孤岛。

埃尔多斯(Erdös)将n = 4的谜语命名为“幸福结局问题”,因为1937年,埃丝特·克莱因(Esther Klein)和塞克斯(Szekeres)结婚,并且有传说认为,向1933年小组提交的问题已成为他们历史上的决定性因素。他们一起生活到2005年8月28日,两人相隔半小时死亡。我们是否应该认为这再次是“幸福的结果”?

直到我们成功获得有关g(n)的更多精度后,这个故事才会结束,特别是因为已经提出了大于2的维度的概括,并且这些概括都伴随着对相关函数g( n)。

还要注意,在1935年的文章中确定g(n)仍然存在,Erdös和Szekeres使用并重新启动了刚刚发现的Ramsey定理。这个拉姆西定理,是Erdös在余生中将要探索的变体和概括,是表示某些顺序不可避免的断言的表述。仍然在1935年发表的文章中,在证明存在g(n)之后,Erdös和Szekeres考虑了另一个相同类型的几何问题。是真的吗:

对于任何整数n,都存在整数N,因此,如果将N个或更多的点放置在平面上的任何位置,则它们中的n个将界定不包含点的凸多边形。

很明显,三个点确保了一个空的三角形。 Esther Klein问题的解决方案适合5个点,从而确保了空的凸四边形。海科·哈伯特(Heiko Harborth)证明10分确保了一个空的凸五边形。

空结构

同样,这里需要以最小顺序的解释。空的凸四边形,空的凸五边形,空的凸六边形等,甚至比凸四边形,凸五边形,凸六边形等还要多。然后问的问题是:

是否有足够多的点确保组织结构的存在?

n的值从7开始的情况构成了一种有益的警告,即不要过于笼统地提出关于``不可避免地存在秩序''的原则。约瑟夫·霍顿(Joseph Horton)的确在1983年成立,对于任何N,无论它有多大,都存在N个点集,这些点不包含空凸七边形,因此不包含空凸八边形等。有些结构是不可避免的,不是全部!

剩下的要解决的情况是空凸六边形的n = 6:在任何位置是否有足够的点来确保存在空凸六边形,是或否?正如我们在本节第一行中指出的那样,这已经得到证明。

证明基于以下事实:某些凸多边形是不可避免的,并且需要进行精细的组合分析,在此过程中,大量经过仔细列举和研究的案例得出了结论。但是,还没有提供简短直接的演示!空六角定理是那些数学上的奇迹之一,似乎没有快速的方法可以让您使用。在相当大的数学对象(点,图形,数字序列,整数集等)中存在某些有组织的子结构是一个显着的性质,我们将举其他例子。

应当指出的是,这些“拉姆西型”结果不仅肯定了概率确定性,而且还肯定了绝对确定性。我们知道,如果用未经处理的硬币进行的一系列抛掷持续足够长的时间,它必然会连续产生10条尾巴。

前一句中的“必要”是概率“必要”。您可能永远不会连续获得10条尾巴。用概率的话来说,连续十次是“几乎可以肯定的”。 Ramsey类型的结果不是“几乎确定”的结果,它们肯定了我们无法逃避的订单结构的存在。

在大型数学对象中一定顺序存在的最著名结果,并将其命名为此类定理,是弗兰克·拉姆西(Frank Ramsey,1903-1930)于1928年在双色图中展示的结果。 N点的完整双色图是具有N个顶点的图,并且任意一对顶点a-b通过棕色或绿色的弧形连接。大小为n的单色子图是该图的n个顶点的子集,因此连接其n个顶点的所有弧均具有相同的颜色(全部为棕色,或全部为绿色)。

拉姆西定理指出,对于任何整数n,都存在一个整数N,使得任何N个或更多点的完整双色图都有一个大小为n的单色子图。确保存在大小为n的单色子图的最小数N是拉姆齐数R(n)。

我们知道R(3)= 6:因此,在六个人的任何集合中,至少有三个彼此认识的人a,b,c或三个彼此不认识的人。这个事实对应于几何上不可能将六边形的两个顶点连接两个的图的弧着色而不形成侧面颜色相同的三角形的情况。

拉姆齐和外星人

我们已经证明R(4)=18。我们知道R(5)在43和49之间,R(6)在102和165之间。R(n)的计算非常困难,以致Erdös说以下故事:

“想象一下,比我们强大得多的外星人到达地球,并要求我们提供在地球完全毁灭的威胁下R(5)的值。在这种情况下,我们必须征集所有计算机和数学家来计算该值。另一方面,如果他们要求我们提供R(6),那么我们将不得不尝试摧毁外星人。 ”

将R(n)与n相关联的函数是一个非常迅速增加的函数,Ramsey定理的某些变体允许对函数的定义如此迅速地增加,以至于基本算术方法的功能不再足以证明这些变体。这些变体中的一个是Jeff Paris和Leo Harrington于1977年提出的,它是第一个不是源自数学逻辑的算术定理,该定理在Peano的算术中无法确定(请参见上个月的标题)。

拉姆西定理的无穷版本是以下优美而又非常简单的结果。如果G是顶点为整数的图,则我们可以找到整数的无限子集,使得这些整数中的任意两个之间都存在边,或者与这些整数相对应的节点之间没有边。

拉姆齐(Ramsey)很小的时候就去世了,他从来没有怀疑他的研究结果将具有多么重要的意义。拉姆齐只是提出了他的定理作为中间结果,以证明数学逻辑定理今天不再对任何人感兴趣!

数码套房

点和图的集合并不是唯一知道不可避免的有序孤岛的数学结构。以下定理,也由Erdös和Szekeres证明,涉及数字序列,并指示一个人总是可以提取单调的子序列,即递增或递减的子序列(参见图3)。我们从上面引用的无限拉姆西定理推论得出的该结果的无限形式断言,从任何数量不同的无限序列中,我们都可以提取一个递增的无限子序列或一个递减的无限子序列。

拉姆齐提出定理之前,已经证明了一些属于拉姆齐理论的结果! 1927年范德华登(Van der Waerden)(1903-1996)的著作是引人注目的:它表明,任何具有两种颜色的整数的着色在算术级数中都包含无穷个相同颜色的数字。它的有限形式表示,对于所有n,都存在一个整数W(n),以便从1到W(n)的整数的任何两色着色都按算术级数包含相同颜色的n个整数的子集。

On sait par exemple que W(3) = 9. D'une part, le coloriage 1 2 3 4 5 6 7 8 montre que W(3) > 8 (jamais trois nombres en progression arithmétique ne sont de la même couleur pour ce coloriage). D'autre part, en essayant tous les coloriages bicolores possibles des entiers de 1 à 9 (il y en a 512), on vérifie que tous ont trois nombres de la même couleur en progression arithmétique.

与以前的函数g(n)一样,函数W(n)是数学家不断关注的目标。我们对此进行推测,有时会提供奖励(并赢得了奖励!)。拉姆齐理论的伟大学者罗恩·格雷厄姆(Ron Graham)因此向任何建立以下观点的人许诺$ 1,000

他必须将这笔款项支付给Timoty Gowers,他在2001年证明:

R. Graham,一个出色的球员,现在向以下任何示威者提供1000美元:

在算术中,不可避免地存在阶数可以用多种方式表示。匈牙利数学家AndrásSárközy和以色列数学家Hillel Furstenberg于1977年同时并独立地证明了Sárközy定理(或Sárközy-Furstenberg定理)(见图4)。这是必须认真学习的陈述,以正确地向您惊讶的朋友们朗诵:

Pour tout nombre réel e > 0, il existe un entier N0, tel que si N > N0 et si A est un sous-ensemble de {1, 2, ..., N} ayant un nombre d'éléments au moins égal à e.N, alors A contient deux éléments dont la différence est un carré parfait.

这些结果肯定了不可避免的有组织的岛屿的存在,有时会被过度解释:它们是否与Kolmogorov的复杂性理论相矛盾,根据该理论,秩序是例外的?它是什么?

顺序和复杂性

柯尔莫哥洛夫的复杂性理论通过压缩比来度量阶数。可以生成有限序列s 0和1的最小程序的大小是该序列的Kolmogorov复杂度,用K(s)表示。该理论的基本主张是,除特殊情况外,随机抽取的序列不可压缩或几乎不可压缩。一个简单的count参数精确地表明,在所有n位序列中,最多不超过一千个的序列可以由小于n-10(并且通常小于2的序列)的文件表示。k 在长度为n的所有序列中,可以压缩超过k位)。

这样的结果意味着该订单很少,而且无法系统地找到。但是,它们与拉姆齐理论的多个定理并不矛盾,我们已经给出了一些例子。实际上,Ramsey型定理断言,在任何足够大的结构中,必定存在某些有组织的子结构。但是,在每种特定情况下,不可避免的有组织子结构的尺寸与找到该数学结构的数学对象的尺寸之间的比值趋于零。

有序的岛屿是必不可少的,但越来越小,因此我们提到的功能迅速增加,因此它们的存在丝毫没有与科尔摩哥罗夫的理论所肯定的全球组织结构的特殊方面相矛盾。

秩序,是的,一定是少量的,这是拉姆齐的理论所说的,但是这种秩序是罕见且局部的:拥有全球组织的大型结构(因此具有较低的柯尔莫哥洛夫复杂性)极为罕见。

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