数学

黎曼的假设

“Zêta函数de riemann”集中了数字理论的重要结果。但这些结果依赖于猜想,这是150年来对数学家是一个巨大的挑战。

彼得梅尔和Jörn托管 用于科学377
本文保留用于科学用户

德国数学家Bernhard Riemann(1826-1866)在他的短暂生活中履行了众多的实力。他甚至印象着留下了“数学王子”Carl Friedrich Gauss(1777-1855),通过新的拓扑性质,他在复杂的分析和今天的几何中引入了Riemannian的荣誉。此外,存在差分几何和微分方程的显着作用,在自然科学中的作用如此重要,数学物理的回忆录,融合概念的理论基础和许多其他事情。

只有一篇文章的黎曼的羽毛涉及数字理论:关于在给定数量以下的印刷数字的数量。本文还证明了其作者的天才。它包含许多已经在几十年后被证明的猜想。以及另一种黎曼以逐渐评论的方式评论:“可能希望有一个严格的这一提案的示范;然而,我在一些快速失败的散文之后离开了这次搜索,因为我的研究目的似乎是多余的。 »

后悔mann“遗漏了当下”的示范继续失败。但他想要证明的是闻名于于瑞曼的猜想或假设的名称。在20世纪的数学家国际会议上,在巴黎,在1900年,在23个问题的名单上,那么大卫希尔伯特想向他的同事展示他的同事的违法行为 XX. e 世纪,在第八名的黎曼假设证明。和一个世纪之后,粘土数学基础提出了100万美元的价格,这仍然缺少证据。

事实上,利姆曼的猜想在数字理论中具有重要意义。其示范将为数百个数学工作提供更强的基础,该工作承担了RIEMANN的断言。

这些结果特别关注所有素数。对于记录,这些是大于1的整数,其分隔(无休息)仅为1,并且在自己的内容:2,3,5,7,11,13,17等。一方面,它们构成了数字王国的不可或缺的“原子”:每种整数都可以唯一地分解,在素数量的产品中靠近因素。在另一边,它们化身不规则,当我们消除了常规的所有内容时,即3等的倍数,其中的倍数是复合数字。正是由于这种不规则性,素数很难掌握。

今天素数的许多基本问题仍然是未答复的,或者至少没有令人满意的反应。以下是最突出的三个:

如何在整数中分发素数?是否有无限的第一双数,也就是说形式的素数(P,P + 2)如5和7或11和13?甚至超过4个是两个素数的总和?

最后一个问题名为Goldbach的猜想。我们知道这个猜想的例外,如果它们存在,必须是巨大的数字,但目前的方法似乎无法访问最终的答案。对于第一个双数的猜想是相同的。

至于第一个问题,这涉及素数的分发,我们有一些结果。我们基本上欠他们瑞士救星leonhard欧拉(1707-1783)引入的一个想法(1707-1783):我们建立一个新的数学对象,其中每个素数(在无限数量)有贡献,然后我们尝试将其分析为完全可能。该对象现在携带zeta函数名称(zeta是希腊字母z),由以下定义:

 

 

 

换句话说,所有这些数字都是高功率的高度,其中s是一个实数的那一刻,我们采取了对立面,我们添加了(如将看到,我们可以从唯一的素数表达这个功能)。标志S(希腊字母Sigma Capital)是总和的通常缩写。

由此定义的总和包括术语无限,这并不总是给出有限的值。我们必须更严格地将总和定义为限制,并且并不总是存在。如果我们拍出= 1,我们得到所谓的谐波系列

 

 

 

谁倾向于无限。如果你选择s < 1, chaque terme de la somme est plus grand que pour s = 1, la somme est donc a fortiori infinie. Mais si s > 1,该系列采用有限值,据说它会收敛。

La propriété cruciale de la fonction z(s) est qu'on peut l'exprimer, du moins pour s > 1, comme un produit infini de termes correspondant chacun à un nombre premier. En effet, on a (voir l'encadré ci-dessous) :

 

 

 

首都PI象征着连续术语的产品。它在这里佩戴所有素数P,在这种情况下被称为埃里人产品。

实际上可以将Zeta函数扩展为与任何实数S非常确定的单个值相关联的函数。在特定情况下对该价值的计算产生了有趣的结果;例如,Euler的另一个壮举是惊人的公式(请参阅第26页的框):

 

 

但这些不是我们这里利益的这些特殊的值。相反,它是关于在Zeta函数属性中的PRIME号码上的断言,因为在此功能中,大型工具箱可用。在这样访问的许多方法中,可以找到和整合,而且尤其是复杂分析的阿森纳。

从riemann到zeta函数

后悔mann的关键概念不是将z(s)作为实际变量s的实际功能,而是作为复数变量的函数(请参见第25页的框)。该函数的初始定义保持相同,但变量S现在可以采用复杂的值。一个术语,如ns 通过复杂的指数将定义为EXP(S LN N),指数(exp)和对数(LN)函数在复杂字段中由整个权力定义;例如,我们有任何复杂的数字z:exp(z)= ez = 1 + z/1! + z2/ 2! + Z.3/ 3! + ......

一些事情在这个扩展到复杂的数字中的变化很少。欧拉系列融合为真实呈现1;这种情况现在变成了S的实际部分(注意Re(s))大于1.在实际线路上,点1是阻挡系列收敛的屏障;在复杂的平面中,该屏障是所有数字的右边的实际部分为1。

但复杂的数字还提供了从另一个角度从欧拉系列定义的功能的可能性。命名为“分析扩展”的过程在复杂分析中是常见的。类似于产品形式的系列的表示,Riemann发现了Zeta函数的另一个表达式,它提供了之前定义了此函数的相同值,但是该函数将更多地为所有其他复数值分配完成的值。 - 除s = 1外。

值S = 1用于Zeta函数数学家名称是奇点的函数。该功能不可避免地采用无限值。当限于实际右侧时,奇点巩固可行的屏障;但在计划中,我们可以简单地绕过它。

为了更好地理解Zêta函数,Riemann将拯救另一个功能,最初还在复杂平面的一部分上定义,并且也可以通过分析扩展来扩展到几乎整个计划:伽马功能(g)。这概括了因子函数,也就是说对于任何正整数n,它检查:

g(n)= n! = n(n - 1)(n - 2)... 2。 1。

对于0,-1,-2,-3等的所有明显的复数,伽马函数需要有限的值。由于功能理论的技术,Riemann获得了Zeta和伽马功能之间的以下关系:

 

 

这样的等式将功能的值连接到不同点,被描述为功能。上面的功能方程具有特定的属性:如果它被1-s和互相替换,则它是不变的。换句话说,它相对于点S = 1/2对称。此外,相关的功能在相对于真实轴的反射期间保持不变(在“复杂的共轭”中,也就是说到了IN-I接近的变化),我们对此有一个对称性右边的实际部分的右侧等于1/2。这种对称轴称为批判性地称为。

所提到的对称性具有有趣的后果。如果S的实际部分大于1,我们将直接知道Zeta函数,如上所述。众所周知,Z(s)没有“零”,也就是说,没有取消该功能的S值,因为欧拉产品的因素都等于零。由于功能方程,这种知识可以转换在复平面的左侧。

让我们举个例子。出现在功能方程的左构件中的G因子(S / 2),采用点S = 0,-2,-4等。无限值。但是,如果选择其中一个值(用于自然整数n的s = -2n),则功能方程的右侧成员提供有限且非零的表达式。这怎么可能 ?唯一的可能性是在这些点中取消Z(S),因为功能方程中的所有其他因素都是非零的。因此,我们推导出S = -2,-4,-6等的z(s)= 0。这些值是Zeta函数的“琐碎的零”。这些是唯一的零零,其真实部件为负。点S = 0不是零,因为z(1 - s)给出了奇异性z(1)。

对于所有的实际部分超过1,没有其他零产品,如欧拉产品的代表所示。因此,只有在0和1之间的实际复数之间的窄带中,可以找到其他零的“关键频带”。这是在这些“非琐碎的”零中,即黎曼熊的着名假设。

后悔mann召集了Zeta功能的非琐碎零的无限。关于他们的位置,他制定了两个精确的断言。一个涉及它们的垂直分布:虚拟部分(即,要说实际轴的高度)的零的数量n(t)在0和值t之间是:

 

 

 

 

当误差项与t时足够大的情况下。虽然Riemann自己掌握了证据的想法,但在汉斯·莫戈尔德特汉斯·冯·莫戈尔特1893年后,断言只有30年。后者还表明,术语修复是LN T的大多数顺序。

至于第二个断言,它涉及水平分布零。 riemann肯定了非琐碎的零只能在关键乐队中间找到,也就是说批判权利;换句话说,非琐碎的零是实际的1/2。这是riemann的猜想这一主张。

从zeta函数到素数

为什么我们对Zeta函数的两个零感兴趣?因为它们提供了有关素数分配的信息。它更精确地评​​估在X下方的所有印刷数字的数量p(x)的公式。 Gauss已经猜想p(x)。 X / Ln X,公式他稍后在p(x)中精制。 li(x),其中li(x)是“积分对数”,由li(x)=定义 #0x d / ln u。标志 。这里意味着“纠正术语,与Li(x)相比,X大足够大”。较小的是这个术语,更好的公式的准确性。

或者riemann已经设法改善了高斯预测到p(x)。他的想法的核心是产品中的第二个代表,本身是由多项式理论引起的,也就是说,形式的功能:

F(s)= A0 + A1 S + A2 S.2 + ... + an sn

具有复杂系数的多项式和度数n(n是相应系数不是零的最高功率)具有恰好N零,或“根”,复杂 - 这是代数的基本定理。如果0本身不是多项式的根,则可以在形式A(1 - S / S1)(1 - S / S2)...(1 - S / Sn)中写下后者,其中Si是根并具有适当的常数。

Zeta函数当然不是多项式。但riemann也是作为形式的因素(1 - S / R)的产品编写,其中R穿过非琐碎的零,具有一些额外的成分:

 

 

 

 

其中A和B是常数。在左侧构件中,存在而不是z(s)功能半方程:乘以(s-1),以消除点S = 1的奇点。

后悔mann当然可以获得这个公式,但不证明它。它仅在1893年,法国数学家Jacques Hadamard达到了,他对这一主题的整体结果现在是复杂分析的重要组成部分。

因此,RIEMANN通过产品具有两种不同的功能:欧拉产品和上述公式。通过比较它们,他获得了Prime Numbers P(x)函数的显式公式(请参阅第28页的框)。但此公式也必须在1895年通过冯峡谷展示之前等待数十年。

Riemann的思想和猜想在这个方向上刺激了研究,并施肥了复杂功能理论的生长领域。这些努力终于在高斯猜想的1896年的证据中取得了成功,现在被Hadamard和Charles de LaVallée-鸡称为“素数”的“定理”,同时但独立地。

对于此证据,必须确保Zeta函数在临界频段的足够大部分中没有零。 Helge Von Koch于1900年展出了以下酒店。放在临界乐队中的垂直线,垂直线,在1/2和1之间的值之间切割实际轴。如果zeta函数没有零的零点,那么术语修复在素数的定理中是x的幅度a 并相互(精确:参展商在纠正术语中不是一个,但数量较高,只要我们想要的那么少)。

因此,术语错误术语误差不能按幅度到x1/2,因为Z(s)在批评权利上有零。如果riemann的猜想为真,则术语错误是最小的,因此遵循的素数也可以尽可能分发。

Riemann对数学假设的重要性几乎不会受到高估。通过假设这是真的,已经获得了数百篇文章涉及其后果和显着的结果。因此,在实践中有重要的加密方法,其安全取决于黎曼猜想的有效性。

大多数数学家认为riemann的假设是真的,特别是对于审美原因(Zeta函数的所有零的命令的想法是令人愉快的),或者因为riemann,Genius在他的时间前,他自己被说服了。

令人惊讶的观察令最近的研究动力。关于Zeta函数的许多非琐事零的统计估计揭示了在数学物理学中研究的随机矩阵特征值的类似原因(矩阵是用于表示线性应用的数字表,以及“值”。拥有“是表征它们的数字)。

这些调查结果加入了20世纪30年代发布的一些希尔伯特和匈牙利数学家思想乔治·佩利亚。已经磨损了很多果实的想法:挪威Atle Selberg在1950年的“微量公式”中发现了。与黎曼公式的相似之处函数p(x),其允许证明riemann猜想模拟的另一种zeta函数。但关于Riemann本身的假设,这类尝试迄今为止提供了任何结果。

物理学的证明尝试

自2000年以来,在jon Keating和Nina Snaith的一个思想的基础上,从布里斯托大学,随机矩阵用于将Zeta函数模拟临界权利。在这些完全不同的物体之间的类比的基础上,数学家制定了猜想,希望能够提供其他轨道来为riemann猜想提供明确的答案。

Une autre tentative un peu plus facile à saisir fait appel à une étonnante propriété d'approximation de la fonction zêta. En 1975, le mathématicien russe Serguei Voronin prouva que la fonction zêta peut approcher aussi précisément qu'on le veut n'importe quelle fonction (suffisamment régulière) sur un petit domaine. C'est le célèbre « théorème d'universalité de Voronin ». Explicitons un peu ce résultat spectaculaire. Soit une fonction f(s) définie sur un petit disque K, situé n'importe où dans la moitié droite de la bande critique. Supposons que f n'ait aucun zéro dans K et qu'elle y soit analytique (développable en série de puissances entières). Alors pour tout e > 0, aussi petit soit-il, il existe un nombre réel t > 0 tel que la différence entre z(s + i t) et f(s) soit inférieure à e en valeur absolue, et ce pour tout s de K. En d'autres termes, on peut trouver t tel que z(s + i t) soit aussi proche que l'on veut de f(s).

甚至证明存在数字T的无限远,验证给定函数和给定数量的该近似。在某种程度上,Zêta函数因此包含所有这些函数f的值信息。有点好像它是包含所有可能卡的地图集......这就是为什么我们总结了voronin普遍性定理的原因,“谁知道Zêta函数了解世界。 »

此普遍性属性在Zêta函数本身的返回信息中返回。如果实际上,riemann猜想是正确的,也就是说,z(s)的所有非琐碎的零是关键的权利,我们可以将普遍定理应用于z(s),结果是zeta函数本身值得注意 - 推导出它是自我损坏的,作为分形(几何图形,无论选择的放大倍数如何,保持相同的方面)。相反,如果我们证明Zeta函数是自动的,那么Riemann的猜想的有效性会导致。

丹麦数学家Harald Bohr(物理学家Niels Bohr的兄弟)是在20世纪20年代的这种观察的起源。但是,普遍性定理的错误,他无法举报。这是由印度数学家Bhaskar Bagchi在20世纪80年代初提供的。

现在已知许多其他其他Riemann猜想的重新装修,但证据仍然仍然如此遥远。当然,如果猜想错了,那就就找到了一个单一的反例。数学家也在这个方向上寻求。 Andrew Odlyzko,Minnesota大学,赫尔曼Telee,Amsterdam计算机研究中心,迄今为止从Zêta函数计算超过1000亿零:它们都是关键权Re(s)= 1/2 。

但这些数字审计不构成黎曼假设的证据。面对数字的无限,人类推理和计算机可以访问是什么只是我的微小下降

订阅和ACC.édez à plus de 20 ans d'archives !

12号éros + 4 hors-série
在纸张版本+ numérique

+ ACC.ès illimité à plus de 20 ans d'archives

我是'abonne

订阅和ACC.édez à plus de 20 ans d'archives !

12号éros + 4 hors-série
在纸张版本+ numérique

+ ACC.ès illimité à plus de 20 ans d'archives

我是'abonne

我们的上一篇出版物

回到顶部